de L’excentricité, est que l’excentricité soit moindre que
![{\displaystyle {\frac {2.{\sqrt {\omega .(1-\omega )}}}{1-2\omega }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/098a2464ca358b42abd4adf506966deb651bbaee)
étant donné par l’équation
![{\displaystyle {\frac {1-\omega }{\omega }}=c^{\frac {2}{1-2\omega }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae8af2a66da596d4dd95dc1b7864f80348967fc3)
Les deux séries sont alors convergentes ; c’est ce qui a lieu pour toutes les planètes, même pour les planètes télescopiques. Les valeurs supérieures de l’excentricité font diverger la série du rayon vecteur, et alors il faut recourir à d’autres développements. Tel est le cas de la comète à courte période.
III.
On développe encore les expressions de l’anomalie vraie et du rayon vecteur, suivant les sinus et cosinus multiples de l’anomalie moyenne. Soit alors
![{\displaystyle v=t+a^{(1)}.\sin .t+a^{(2)}.\sin .2t\ldots +a^{(i)}.\sin .it+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b4843760e2756622cde11406b2446ab2e002b15)
etc.
etc. étant des fonctions de l’excentricité. On peut facilement démontrer que la série est toujours convergente. En effet, on a
![{\displaystyle \int (v-t).dt.\sin .it=\pi .a^{(i)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58ae64f7c633724c731a8e5ae858a3e9e1b21665)
l’intégrale étant prise depuis
nul, jusqu’à
égale
Or, on a dans ces limites en intégrant par parties,
![{\displaystyle dt.(v-t).\sin .it={\frac {1}{i}}.\int dt\left({\frac {dv}{dt}}-1\right).\cos .it=-{\frac {1}{i^{2}}}.\int dt.\sin .it.{\frac {ddv}{dt^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c0ac0d536eb984522a473e23752798c8d39f995)
on aura donc
![{\displaystyle a^{(i)}=-{\frac {1}{i^{2}\pi }}.\int dt.\sin .it.{\frac {ddv}{dt^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3056b6dbbb9ada40c50a5b9936f63925c43c808e)