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Maintenant si l’on désigne par $\mathrm {A}$ la série

$1+e+{\frac {2^{2}.e^{2}}{1.2.2}}\ldots$

$+{\frac {e^{i'}}{1.2.3\ldots i'.2^{i'-1}}}\left[i^{'i'}+i'.(i'-2)^{i'}+{\frac {i'.{\overline {i'-1}}}{1.2}}.(i'-4)^{i'}+{\text{etc}}.\right]+{\text{etc}}.,$

la série étant continuée jusqu’à $i'=i\,;$ il est facile de voir que l’expression en série, de ${\frac {du}{dt}},$ sera moindre que le développement en série, de la fonction

$\mathrm {A} +{\frac {2.(1-2\omega ).q^{i}e^{i}}{{\sqrt {2\pi }}.(1-qe)}}\,;\quad (o)$

en désignant par $q$ la quantité

${\frac {(1-2\omega ).c}{2\omega ^{\omega }.(1-\omega )^{1-\omega }}}.$

Car il est visible que le coefficient d’une puissance quelconque $e^{s}$ dans le développement de la fonction $(o)$ est positif, et qu’il est plus grand, abstraction faite du signe, que le coefficient de la même puissance dans le développement de ${\frac {du}{dt}}.$ L’expression de ${\frac {dv}{dt}},$ ou de $\left({\frac {du}{dt}}\right)^{2}.{\sqrt {1-e^{2}}},$ est donc moindre que

$\left[\mathrm {A} +{\frac {2.(1-2\omega ).q^{i}e^{i}}{{\sqrt {2\pi }}.(1-qe)}}\right]^{2}.{\sqrt {1-e^{2}}}\,;$

or, le développement de ${\sqrt {1-e^{2}}}$ est moindre que celui de ${\frac {1}{1-e^{2}}}\,;$ le développement de ${\frac {dv}{dt}}$ est donc moindre que celui de

${\frac {\left[\mathrm {A} +{\cfrac {2.(1-2\omega ).q^{i}e^{i}}{{\sqrt {2\pi }}.(1-qe)}}\right]^{2}}{1-e^{2}}}\,;\quad (p)$