la série étant continuée jusqu’à ce que l’on arrive à un facteur
dans lequel
soit négatif. Si l’on fait
égal à un angle droit, ce terme devient nul lorsque
est impair ; et dans le cas de
pair, il devient, abstraction faite du signe, égal à
![{\displaystyle {\frac {e^{i}}{1.2.3\ldots {\overline {i-1}}.2^{i-1}}}.\left[i^{i-2}+{\frac {i}{1}}.(i-2)^{i-2}+{\frac {i.{\overline {i-1}}}{1.2}}.(i-4)^{i-2}+{\text{etc}}.\right]\,;\ (a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4af16f7048ceaac396205cad2280687a1341d94)
et il est alors le plus grand possible. Déterminons sa valeur, lorsque
est un très-grand nombre.
Il est facile de voir que les termes de la série
![{\displaystyle i^{i-2}+{\frac {i}{1}}.(i-2)^{i-2}+{\frac {i.{\overline {i-1}}}{1.2}}.(i-4)^{i-2}+{\text{etc}}.\,;\ (a')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d6035efbed0d55a7392287e044db5ee03c5ffe1)
vont d’abord en croissant et qu’ils ont un maximum après lequel ils diminuent. À ce maximum, deux termes consécutifs sont à très-peu-près égaux. Soit
![{\displaystyle {\frac {i.{\overline {i-1}}.{\overline {i-2}}\ldots {\overline {i-r+1}}}{1.2.3\ldots r}}.(i-2r)^{i-2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d106301cd7d45c9b09f7c97e868183d57992cb8)
le terme maximum. Le terme qui le précède, sera
![{\displaystyle {\frac {i.{\overline {i-1}}.\ldots {\overline {i-r+2}}}{1.2.3\ldots {\overline {r-1}}}}.(i-2r+2)^{i-2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d93b5f82ad0c46d2d1d1a6be447433f3fe8b31f8)
en égalant donc ces deux termes on aura
![{\displaystyle {\frac {i-r+1}{r}}.(i-2r)^{i-2}=(i-2r+2)^{i-2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a45c6caa1c2542535a72a614d940faed7a55a21)
Cette équation donne la valeur de
et par conséquent, le rang que le terme le plus grand occupe dans la série. Si l’on prend les logarithmes des deux membres, on a