ces quantités devront être également rationnelles. Or par les formules connues on trouve
donc
le second membre doit donc être un carré parfait.
On obtiendrait le même résultat par la considération des deux quantités
Corollaire. Il suit de ce théorème que dans le cas où l’équation
a ses trois racines rationnelles, l’expression de l’une de ces racines par la formule de Cardan, est toujours de la forme
![{\displaystyle x={\frac {1}{3}}p+\mathrm {\sqrt[{3}]{\left(A+B{\sqrt {-{\frac {1}{3}}}}\right)}} +\mathrm {\sqrt[{3}]{\left(A-B{\sqrt {-{\frac {1}{3}}}}\right)}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fa9fa35347642b189747b09036c119169ec37d8)
dans laquelle
et
sont rationnels ainsi que ![{\displaystyle \mathrm {\sqrt[{3}]{\left(A^{2}+{\frac {1}{3}}B^{2}\right)}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aa29636f51ca6e3bf176df6684a9a1aaf0523f3)
Théorème V. « Si l’on propose de trouver combien il y a de nombres premiers dans la progression arithmétique
où
est l’un des
nombres plus petits que
et premiers à
le nombre cherché
sera donné par la formule
![{\displaystyle x={\frac {n\mathrm {A} }{k(\log .(n\mathrm {A} )-1.08366)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79c7938faf9d3ee149c87813b858e2f74b6f64ae)
laquelle sera d’autant plus exacte que
sera plus grand. »
Par exemple, dans la progression
etc., dont le terme général est
on a
et
Ainsi dans les 100000 premiers termes de cette progression on devra trouver à très-peu-près
nombres premiers.