de le faire, ou d’employer la substitution
qui donne également à résoudre une équation du troisième degré.
Mais la décomposition que notre théorème fournit, a de plus l’avantage de faire connaître des propriétés nouvelles des sections angulaires. Car puisque dans notre exemple, les \cotangentes des trois arcs
sont les racines d’une même équation
il s’ensuit qu’on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cot .{\frac {\pi }{14}}-\;\cot .{\frac {3\pi }{14}}-\ \ \cot .{\frac {5\pi }{14}}&={\sqrt {7}},\\\cot .^{2}{\frac {\pi }{14}}+\cot .^{2}{\frac {3\pi }{14}}+\cot .^{2}{\frac {5\pi }{14}}&=21,\\\cot .{\frac {\pi }{14}}\cot .{\frac {3\pi }{14}}\cot .{\frac {5\pi }{14}}&={\sqrt {7}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa5ee46be052bf26adca14e983481ee49403b5da)
comme on peut le vérifier par le calcul trigonométrique.
Il resterait à trouver pour une valeur quelconque de
la loi générale des valeurs de
qui servent à composer les racines de chaque équation. On aurait ainsi de nouvelles formules qui s’ajouteraient aux nombreuses formules connues dans la théorie des sections angulaires.
65. Théorème IV. « Si l’équation
a ses trois racines rationnelles, la quantité
devra être un carré. »
En effet, soient
les racines rationnelles de l’équation proposée, en sorte qu’on ait
si l’on cherche les valeurs des quantités
et
ainsi composées :
![{\displaystyle {\begin{aligned}y&=\alpha ^{2}{\text{ϐ}}+{\text{ϐ}}^{2}\gamma +\gamma ^{2}\alpha =\int \alpha ^{2}{\text{ϐ}},\\z&=\alpha ^{2}\gamma +{\text{ϐ}}^{2}\alpha +\gamma ^{2}{\text{ϐ}}=\int \alpha ^{2}\gamma ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eda2902ab8407fbfd9913898065edae0a0fad18)