être décomposées en deux facteurs rationnels du degré
Par exemple, dans le cas de
on aura
![{\displaystyle {\frac {\cos .7\varphi }{\cos .\varphi }}=\left\{{\begin{aligned}&\left(\cos .^{3}\varphi +7^{\frac {1}{2}}\cos .^{2}\varphi \sin .\varphi -7\cos .\varphi \sin .^{2}\varphi +7^{\frac {1}{2}}\sin .^{3}\varphi \right)\times \\&\left(\cos .^{3}\varphi -7^{\frac {1}{2}}\cos .^{2}\varphi \sin .\varphi -7\cos .\varphi \sin .^{2}\varphi -7^{\frac {1}{2}}\sin .^{3}\varphi \right),\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2061c9198abe43e89faa31cae90efac694fbe7da)
![{\displaystyle {\frac {\sin .7\varphi }{7\sin .\varphi }}=\left\{{\begin{aligned}&\left(\cos .^{3}\varphi -7^{\frac {1}{2}}\cos .^{2}\varphi \sin .\varphi +\cos .\varphi \sin .^{2}\varphi +7^{-{\frac {1}{2}}}\sin .^{3}\varphi \right)\times \\&\left(\cos .^{3}\varphi -7^{\frac {1}{2}}\cos .^{2}\varphi \sin .\varphi +\cos .\varphi \sin .^{2}\varphi +7^{-{\frac {1}{2}}}\sin .^{3}\varphi \right).\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1a5934f6b82b62df02914b8108acba456e61f77)
64. Pour appliquer ces formules à un cas particulier, soit proposé de diviser le quart de la circonférence
en
parties égales ; on fera
ce qui donnera
et on trouvera
par la résolution de l’une ou l’autre des deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cot .^{3}\varphi +7^{\frac {1}{2}}\cot .^{2}\varphi -7\cot .\varphi +7^{\frac {1}{2}}&=0,\\\cot .^{3}\varphi -7^{\frac {1}{2}}\cot .^{2}\varphi -7\cot .\varphi -7^{\frac {1}{2}}&=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5912ea3809fc2dce2135375d2b67dabae736bebb)
La première s’applique aux arcs
la seconde aux arcs
qui sont les suppléments des précédents.
On aurait directement par les formules ordinaires
![{\displaystyle {\frac {\cos .7\varphi }{\cos .\varphi }}=\cos .^{6}\varphi -21\cos .^{4}\varphi \sin .^{2}\varphi +35\cos .^{2}\varphi \sin .^{4}\varphi -7\sin .^{6}\varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c34ce3e04171335bc76fcc57e4d60ad9b0cae186)
ce qui, dans le cas précédent, donnerait à résoudre l’équation
![{\displaystyle 0=\cot .^{6}\varphi -21\cot .^{4}\varphi +35\cot .^{2}\varphi -7\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9783bfb081814c6b4cdb48d62dd5341a677c4b0f)
on a donc le choix ou de décomposer cette équation du sixième degré en deux autres du troisième, comme on vient