jours possible, la même fonction
pourra être mise aussi sous la forme
il suffit pour cela de faire
ce qui donnera
60. Théorème III. « Soit
un nombre premier de la forme
si on fait
ensuite
ce qui donne
![{\displaystyle \mathrm {P} =f^{n-1}-{\frac {n.n-1}{2}}f^{n-3}.ng^{2}+{\frac {n.n-1.n-2.n-3}{2.3.4}}f^{n-5}.n^{2}g^{4}-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3abe54d4503942488fce81afaf55b8c7c1aa8ca5)
etc.,
![{\displaystyle \mathrm {Q} =f^{n-1}-{\frac {n-1.n-2}{2.3}}f^{n-3}.ng^{2}+{\frac {n-1.n-2.n-3.n-4}{2.3.4.5}}f^{n-5}.n^{2}g^{4}-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/315086318ce94419dba118d0ce7c9c49c810ccc3)
etc.
je dis que les polynomes
et
pourront être partagés en deux facteurs rationnels, de sorte qu’on aura
![{\displaystyle \mathrm {P=AB,\qquad Q=CD} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03d486141efcb1f7885a69420f936d79317febe3)
étant des polynomes en f et g du degré
»
En effet : soit
on aura
et d’après cette forme on peut faire
ce qui donnera
![{\displaystyle \mathrm {X} =\left\{{\begin{aligned}&2p^{2m+1}-p^{2m}q-mp^{2m-1}q^{2}+{\text{etc}}.\\+&2q^{2m+1}-q^{2m}p-mq^{2m-1}p^{2}+{\text{etc}}.\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12f4ca76966011122b3eb7a04b5360cf9a0a022e)
![{\displaystyle \mathrm {Y} =\left\{{\begin{aligned}&p^{2m}q+{\text{ϐ}}p^{2m-1}q^{2}+{\text{etc}}.\\-&q^{2m}p+{\text{ϐ}}q^{2m-1}p^{2}-{\text{etc}}.\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc0d109a9d4e632c0f49ce53cb79c914da526d65)
Or j’observe que la valeur de
est réelle et rationnelle, puisqu’elle ne dépend que de la valeur de
et celle de ![{\displaystyle p^{k}+q^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff59e9caf2a68978094f9d77d686eb2a0416d66f)