En effet, si on fait
on aura
mais d’après cette formation on sait que la fonction
peut être mise sous la forme
dans laquelle on aura
![{\displaystyle \mathrm {X} =\left\{{\begin{aligned}&2p^{2m}-p^{2m-1}q+(m+1)p^{2m-2}q^{2}+{\text{etc}}.\\+&2q^{2m}-q^{2m-1}p+(m+1)q^{2m-2}p^{2}+{\text{etc}}.\end{aligned}}\right\}+\mathrm {M} p^{m}q^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22df5063e907848b5549dcfe95ada4eb2b65810e)
![{\displaystyle \mathrm {Y} =\left\{{\begin{aligned}&p^{2m-1}q+\alpha p^{2m-2}q^{2}+{\text{etc}}.\\+&q^{2m-1}p+\alpha q^{2m-2}p^{2}+{\text{etc}}.\end{aligned}}\right\}+\mathrm {N} p^{m}q^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/432724b28c84b511ef620f0c4f623ca7e973f76c)
Et comme en général
est rationnel ainsi que
étant un entier quelconque, il s’ensuit que
et
sont des polynômes en
et
homogènes et du degré
ces polynomes divisés par
seront les valeurs de
et
dans l’équation ![{\displaystyle \mathrm {P} =\mathrm {A} ^{2}-n\mathrm {B} ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57d3232a3be9a4e28df74cd93e1074009421e464)
On aura semblablement
mais en faisant
on aura
![{\displaystyle 4\mathrm {H} =4n\mathrm {Q} =\mathrm {X} ^{'2}-n\mathrm {Y} ^{'2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/034100ec98c3b050243edece1deee8fd04041b00)
![{\displaystyle \mathrm {X} '=\left\{{\begin{aligned}&2p^{2m}-p^{2m-1}q+(m+1)p^{2m-2}q^{2}+{\text{etc}}.\\+&2q^{2m}-q^{2m-1}p+(m+1)q^{2m-2}p^{2}+{\text{etc}}.\end{aligned}}\right\}+\mathrm {M} 'p^{m}q^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac97f4b4e313a6e680bad0c428fd1382098c237)
![{\displaystyle \mathrm {Y} '=\left\{{\begin{aligned}&p^{2m-1}q-\alpha p^{2m-2}q^{2}+{\text{etc}}.\\+&q^{2m-1}p-\alpha q^{2m-2}p^{2}+{\text{etc}}.\end{aligned}}\right\}+\mathrm {N} 'p^{m}q^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb88286af28afe98864d4136f5d4e19203e2c6cc)
Les valeurs de
et
sont donc pareillement des fonctions entières de
et
et comme
doit être divisible par
en vertu de l’équation
il faudra faire
ce qui donnera
Donc la fonction
peut être mise sous la forme
or puisque
est de la forme
et qu’ainsi l’équation
est tou-