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En effet, si on fait $p=f+g{\sqrt {n}},$ $q=f-g{\sqrt {n}},$ on aura $\mathrm {P} ={\frac {p^{n}+q^{n}}{p+q}}\,;$ mais d’après cette formation on sait que la fonction $4\mathrm {P}$ peut être mise sous la forme $\mathrm {X} ^{2}-n\mathrm {Y} ^{2},$ dans laquelle on aura

$\mathrm {X} =\left\{{\begin{aligned}&2p^{2m}-p^{2m-1}q+(m+1)p^{2m-2}q^{2}+{\text{etc}}.\\+&2q^{2m}-q^{2m-1}p+(m+1)q^{2m-2}p^{2}+{\text{etc}}.\end{aligned}}\right\}+\mathrm {M} p^{m}q^{m},$

$\mathrm {Y} =\left\{{\begin{aligned}&p^{2m-1}q+\alpha p^{2m-2}q^{2}+{\text{etc}}.\\+&q^{2m-1}p+\alpha q^{2m-2}p^{2}+{\text{etc}}.\end{aligned}}\right\}+\mathrm {N} p^{m}q^{m}.$

Et comme en général $pq$ est rationnel ainsi que $p^{k}+q^{k},$ $k$ étant un entier quelconque, il s’ensuit que $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ sont des polynômes en $f$ et $g,$ homogènes et du degré $2m\,;$ ces polynomes divisés par $2$ seront les valeurs de $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ dans l’équation $\mathrm {P} =\mathrm {A} ^{2}-n\mathrm {B} ^{2}.$

On aura semblablement $\mathrm {Q} ={\frac {1}{n}}.{\frac {p^{n}-q^{n}}{p-q}}\,;$ mais en faisant $p^{n}-q^{n}=(p-q)\mathrm {H} ,$ on aura

$4\mathrm {H} =4n\mathrm {Q} =\mathrm {X} ^{'2}-n\mathrm {Y} ^{'2},$

$\mathrm {X} '=\left\{{\begin{aligned}&2p^{2m}-p^{2m-1}q+(m+1)p^{2m-2}q^{2}+{\text{etc}}.\\+&2q^{2m}-q^{2m-1}p+(m+1)q^{2m-2}p^{2}+{\text{etc}}.\end{aligned}}\right\}+\mathrm {M} 'p^{m}q^{m},$

$\mathrm {Y} '=\left\{{\begin{aligned}&p^{2m-1}q-\alpha p^{2m-2}q^{2}+{\text{etc}}.\\+&q^{2m-1}p-\alpha q^{2m-2}p^{2}+{\text{etc}}.\end{aligned}}\right\}+\mathrm {N} 'p^{m}q^{m}.$

Les valeurs de $\mathrm {X} '$ et $\mathrm {Y} '$ sont donc pareillement des fonctions entières de $f$ et $g\,;$ et comme $\mathrm {X} '$ doit être divisible par $n,$ en vertu de l’équation $4n\mathrm {Q} =\mathrm {X} ^{'2}-n\mathrm {Y} ^{'2},$ il faudra faire $\mathrm {X} '=n\mathrm {Z} ',$ ce qui donnera $4\mathrm {Q} =n\mathrm {Z} ^{'2}-\mathrm {Y} ^{'2}.$ Donc la fonction $\mathrm {Q}$ peut être mise sous la forme $n\left({\frac {1}{2}}\mathrm {Z} '\right)^{2}-\left({\frac {1}{2}}\mathrm {Y} '\right)^{2}\,;$ or puisque $n$ est de la forme $4m+1,$ et qu’ainsi l’équation $t^{2}-nu^{2}=-1$ est tou-