Si on prend ensuite le carré de
et qu’on le retranche de
on aura la valeur de
d’où résulte
![{\displaystyle \mathrm {Y} =xy\left(x^{3}-y^{3}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fba80fe0c3be401d7448d2bfc6de7eb90b2e38a)
Cette seconde opération s’exécute par les règles ordinaires de l’analyse, sans faire aucune omission dans les coefficients.
Soit encore
on aura
ce qui donne
![{\displaystyle \mathrm {X} =2(x+y)^{8}=\left\{{\begin{aligned}&2x^{8}+16x^{7}y+56x^{6}y^{2}+112x^{5}y^{3}+140x^{4}y^{4}\\+&2y^{8}+16xy^{7}+56x^{2}y^{6}+112x^{3}y^{5}\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/225a81f2f52ee3219ffdc734a833b64634844860)
et en supprimant les multiples de ![{\displaystyle 17,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57313f112242ededc97fb24f708b43a61b270a95)
![{\displaystyle \mathrm {X} =2x^{8}-x^{7}y+5x^{6}y^{2}-7x^{5}y^{3}+4x^{4}y^{4}-7x^{3}y^{5}+5x^{2}y^{6}-xy^{7}+2y^{8}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f31b02ef417cb9fd6bf4f6db9c6cd59140e70506)
ensuite on trouve
![{\displaystyle \mathrm {Y} =xy\left(x^{6}-x^{5}y+x^{4}y^{2}-2x^{3}y^{3}+x^{2}y^{4}-xy^{5}+y^{6}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/580769dfbbdbcfa6689345a9f6224d4fe3fcebc0)
59. Théorème II. « Soit
un nombre premier
si l’on fait
ensuite
ce qui donne
![{\displaystyle \mathrm {P} =f^{n-1}+{\frac {n.n-1}{2}}f^{n-3}.ng^{2}+{\frac {n.n-1.n-2.n-3}{2.3.4}}f^{n-5}.n^{2}g^{4}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765334df7943952ae2784b9d6a4f64a9c555cbcd)
etc.,
![{\displaystyle \mathrm {Q} =f^{n-1}+{\frac {n-1.n-2}{2.3}}f^{n-3}.ng^{2}+{\frac {n-1.n-2.n-3.n-4}{2.3.4.5}}f^{n-5}.n^{2}g^{4}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2514311435c9202177fb5e2efcc9d80fb108f592)
etc.
Je dis que les polynômes
et
peuvent en général se mettre sous la forme
de sorte qu’on pourra faire
![{\displaystyle \mathrm {P} =\mathrm {A} ^{2}-n\mathrm {B} ^{2},\qquad \mathrm {Q} =\mathrm {C} ^{2}-n\mathrm {D} ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4d700bc171154fdb50f822033949c166486c45e)
étant des polynomes en
et
du degré
»