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Si on prend ensuite le carré de $\mathrm {X}$ et qu’on le retranche de $4\mathrm {P} ,$ on aura la valeur de $11\mathrm {Y} ^{2}$ d’où résulte

$\mathrm {Y} =xy\left(x^{3}-y^{3}\right).$

Cette seconde opération s’exécute par les règles ordinaires de l’analyse, sans faire aucune omission dans les coefficients.

Soit encore $n=17,$ on aura $m=8,$ ce qui donne

$\mathrm {X} =2(x+y)^{8}=\left\{{\begin{aligned}&2x^{8}+16x^{7}y+56x^{6}y^{2}+112x^{5}y^{3}+140x^{4}y^{4}\\+&2y^{8}+16xy^{7}+56x^{2}y^{6}+112x^{3}y^{5}\end{aligned}}\right.$

et en supprimant les multiples de $17,$

$\mathrm {X} =2x^{8}-x^{7}y+5x^{6}y^{2}-7x^{5}y^{3}+4x^{4}y^{4}-7x^{3}y^{5}+5x^{2}y^{6}-xy^{7}+2y^{8}\,;$

ensuite on trouve

$\mathrm {Y} =xy\left(x^{6}-x^{5}y+x^{4}y^{2}-2x^{3}y^{3}+x^{2}y^{4}-xy^{5}+y^{6}\right).$

59. Théorème II. « Soit $n$ un nombre premier $4m+1,$ si l’on fait $\left(f+g{\sqrt {n}}\right)^{n}=\mathrm {F+G} {\sqrt {n}},$ ensuite $\mathrm {F} =f\mathrm {P} ,$ $\mathrm {G} =ng\mathrm {Q} ,$ ce qui donne

$\mathrm {P} =f^{n-1}+{\frac {n.n-1}{2}}f^{n-3}.ng^{2}+{\frac {n.n-1.n-2.n-3}{2.3.4}}f^{n-5}.n^{2}g^{4}+$ etc.,

$\mathrm {Q} =f^{n-1}+{\frac {n-1.n-2}{2.3}}f^{n-3}.ng^{2}+{\frac {n-1.n-2.n-3.n-4}{2.3.4.5}}f^{n-5}.n^{2}g^{4}+$ etc.

Je dis que les polynômes $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ peuvent en général se mettre sous la forme $\mathrm {X} ^{2}-n\mathrm {Y} ^{2},$ de sorte qu’on pourra faire

$\mathrm {P} =\mathrm {A} ^{2}-n\mathrm {B} ^{2},\qquad \mathrm {Q} =\mathrm {C} ^{2}-n\mathrm {D} ^{2},$

$\mathrm {A,\,B,\,C,\,D} ,$ étant des polynomes en $f$ et $g$ du degré $2m={\frac {1}{2}}(n-1).$ »