est de la forme
Cela posé :
« Je dis que le polynome
se déterminera en général par la formule[1]
![{\displaystyle \mathrm {X} =2(x+y)^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65911d6883439ba585f920bb5b53ee7e454f26a6)
où
pourvu qu’après avoir développé cette puissance, on retranche des coefficients tous les multiples de
qu’ils peuvent contenir, en ne conservant que les restes moindres que
»
En effet la quantité
est toujours divisible par
quel que soit l’entier
Supposons
non divisible par
alors
sera divisible par
multipliant par
et observant que
peut être mis sous la forme
on aura le nombre
ou seulement sa partie
qui sera divisible par
Donc
sera encore divisible par
et comme le signe de
est à volonté ; on pourra faire
C’est ce que donnerait la formule énoncée dans le théorème en faisant
58. Soit par exemple
on aura
et
![{\displaystyle \mathrm {X} =2(x+y)^{5}=2x^{5}+10x^{4}y+20x^{3}y^{2}+20x^{2}y^{3}+10xy^{4}+2y^{5}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e7fa638f437868f0ce71bf0968885e80303c5d2)
réduisant comme il vient d’être dit, les coefficients au-dessous de
on aura la vraie valeur de
savoir
![{\displaystyle \mathrm {X} =2x^{5}-x^{4}y-2x^{3}y^{2}-2x^{2}y^{3}-xy^{4}+2y^{5}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97c36aee0401189aa78103f9bc59194e242d96da)
- ↑ Cette formule offre pour déterminer
un moyen beaucoup plus simple que celui que nous avions indiqué dans la Théorie des nombres, art. 478.