de
au moyen des auxiliaires
![{\displaystyle q={\sqrt {\left(b^{2}-acm\right)}},\qquad r={\sqrt {\left(c^{2}-abm\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a202fda1f6e13362f2dcf1467491826ecf87bf79)
Ainsi à l’exception de la constante
qui dépend d’une racine cubique, il ne faut que de simples extractions de racines carrées pour déterminer les nombres
et pour prolonger à volonté la série des solutions dans le sens opposé à celui où elles croissent avec beaucoup de rapidité. Nous pourrions remarquer ici qu’on a entre les auxiliaires
et les quantités
les trois équations rationnelles :
![{\displaystyle {\begin{aligned}pq&=ab+{\frac {1}{2}}m^{2}c^{2},\\3a^{2}&=p^{2}-mqr,\\3bc&=-qr-{\frac {1}{2}}m^{2}p^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4655e9289e26699e902a003065e263b8c99c524d)
qui chacune en produisent deux autres semblables, et d’où résulte l’équation
Mais ces propriétés ne se rapportent qu’à un genre d’analyse indéterminée différent de celui où l’on se propose seulement d’obtenir des solutions en nombres rationnels.
Théorèmes d’Analyse.
57. Théorème I.
étant un nombre premier, si on fait
désignant le polynôme
etc., on sait qu’il est toujours possible de satisfaire à l’équation
![{\displaystyle 4\mathrm {P} =\mathrm {X} ^{2}\pm n\mathrm {Y} ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad24699534068a607c5ffb211a2106d4ba43db53)
savoir
si
est de la forme
et
si ![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)