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de $3z^{4},$ au moyen des auxiliaires

$q={\sqrt {\left(b^{2}-acm\right)}},\qquad r={\sqrt {\left(c^{2}-abm\right)}}$

Ainsi à l’exception de la constante $m$ qui dépend d’une racine cubique, il ne faut que de simples extractions de racines carrées pour déterminer les nombres $x,\,y,\,z,$ et pour prolonger à volonté la série des solutions dans le sens opposé à celui où elles croissent avec beaucoup de rapidité. Nous pourrions remarquer ici qu’on a entre les auxiliaires $p,\,q,\,r$ et les quantités $a,\,b,\,c,$ les trois équations rationnelles :

${\begin{aligned}pq&=ab+{\frac {1}{2}}m^{2}c^{2},\\3a^{2}&=p^{2}-mqr,\\3bc&=-qr-{\frac {1}{2}}m^{2}p^{2},\end{aligned}}$

qui chacune en produisent deux autres semblables, et d’où résulte l’équation $p^{3}+q^{3}+r^{3}=0.$ Mais ces propriétés ne se rapportent qu’à un genre d’analyse indéterminée différent de celui où l’on se propose seulement d’obtenir des solutions en nombres rationnels.

Théorèmes d’Analyse.

57. Théorème I. $n$ étant un nombre premier, si on fait $x^{n}+y^{n}=(x+y)\mathrm {P} ,$ $\mathrm {P}$ désignant le polynôme $x^{n-1}-yx^{n-2}+y^{2}x^{n-3}-$ etc. on sait qu’il est toujours possible de satisfaire à l’équation

$4\mathrm {P} =\mathrm {X} ^{2}\pm n\mathrm {Y} ^{2},$

savoir $\mathrm {X} ^{2}+n\mathrm {Y} ^{2}$ si $n$ est de la forme $4k-1$ et $\mathrm {X} ^{2}-n\mathrm {Y} ^{2}$ si $n$