Nous avions déjà démontré dans la Théorie des nombres le cas de
et celui de
étant un nombre entier ; la démonstration précédente qui s’applique à ces deux cas, comprend en outre le cas de
De l’équation ![{\displaystyle x^{3}-y^{3}=\mathrm {A} z^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c12b732740418fdf4ee0b78115ab08fe0f3f0044)
51. Il résulte de la démonstration précédente que cette équation est impossible pour les valeurs
etc. on peut faire voir qu’elle l’est encore pour les valeurs
Pour cet effet observons d’abord que si
est de la forme
l’indéterminée
devra être divisible par
car si elle ne l’était pas, on pourrait faire
et en rejetant les multiples de
on aurait
Or un cube quelconque est toujours de l’une des trois formes
donc la somme de deux cubes, divisée par
ne peut laisser pour reste que
ou
Donc si
donne pour reste
ou
sera nécessairement divisible par
52. Cela posé, considérons l’équation
puisque
doit être divisible par
cette équation ne pourra se partager en deux autres que de cette manière
![{\displaystyle x+y=(3a)^{3},\qquad x^{2}-xy+y^{2}=3z^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/210a8583fb4d669132debc0a3b27ff44209e9a0a)
où l’on suppose
étant impair et premier à ![{\displaystyle 3a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/289e4aaa8188b6c229ec0c6f70170d735efca968)
La seconde de ces deux équations pouvant se mettre sous la forme
il faudra distinguer deux cas, selon que
est pair ou impair.
Supposons 1o.
impair,
sera aussi impair ; et puisque le premier membre de cette équation est de la forme