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est un ; d’ailleurs les trois facteurs $g,$ $f+g,$ $f-g,$ n’ayant aucun diviseur commun, l’équation précédente se décomposera en trois autres, savoir $g=2^{m-1}\alpha ^{3},$ $f+g={\text{ϐ}}^{3},$ $f-g=\gamma ^{3},$ d’où résulte ϐ$^{3}-\gamma ^{3}=2^{m}\alpha ^{3},$ équation semblable à la proposée et composée de nombres beaucoup plus petits.

Soit 2^o. $z$ non divisible par $3,$ alors l’équation proposée se décomposera en ces deux-ci :

${\begin{aligned}x+y&=2^{m}a^{3},\\x^{2}-xy+y^{2}&=r^{3},\end{aligned}}$

lesquelles supposent $z=ar,$ et $r$ premier à $a.$

La dernière étant mise sous la forme $\left({\frac {x+y}{2}}\right)^{2}+3\left({\frac {x-y}{2}}\right)^{2}=r^{3},$ on voit que $r$ devra être de la forme $f^{2}+3g^{2}\,;$ c’est pourquoi faisant, comme dans le premier cas, $r=f^{2}+3g^{2},$ $\left(f+g{\sqrt {-3}}\right)^{3}=\mathrm {F+G} {\sqrt {-3}},$ on aura $r^{3}=\mathrm {F^{2}+3G^{2}} \,;$ ce qui donnera la solution ${\frac {x+y}{2}}=\mathrm {F} ,$ ${\frac {x-y}{2}}=\mathrm {G} .$ Mais on a $\mathrm {F} =f\left(f^{2}-9g^{2}\right)\,;$ donc $2^{m-1}a^{3}=f\left(f^{2}-9g^{2}\right).$ Les trois facteurs du second membre $f,$ $f+3g,$ $f-3g,$ étant premiers entre eux et $f^{2}-9g^{2}$ étant toujours impair, cette équation ne peut subsister à moins qu’on n’ait $f=2^{m-1}\alpha ^{3},$ $f+3g={\text{ϐ}}^{3},$ $f-3g=\gamma ^{3},$ ce qui suppose $a=\alpha {\text{ϐ}}\gamma ,$ les trois nombres $\alpha ,{\text{ϐ}},\gamma$ étant premiers entre eux. De là résulte ${\text{ϐ}}^{3}+\gamma ^{3}=2^{m}\alpha ^{3},$ équation entièrement semblable à la proposée, et dans laquelle $\alpha$ sera, ainsi que $a,$ non divisible par $3.$

Puisque dans les deux cas l’équation proposée se réduit à une équation composée de nombres beaucoup plus petits ; il s’ensuit que cette équation est impossible, excepté dans le seul cas $x+y=0.$