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de la première partie ; donc l’équation proposée $x^{3}+y^{3}+z^{3}=0$ est pareillement impossible.

De l’équation $x^{3}+y^{3}=2^{m}z^{3}.$

50. Dans cette équation où nous supposons $m=$ ou $>1,$ les nombres $x$ et $y$ doivent être impairs, et on peut supposer que $z$ l’est aussi ; d’ailleurs le premier membre est le produit des deux facteurs $x+y,$ $x^{2}-xy+y^{2},$ qui ne peuvent avoir que $3$ pour diviseur commun. Ainsi il faudra distinguer deux cas, selon que $z$ est ou n’est pas divisible par $3.$

Soit 1^o. $z$ divisible par $3,$ l’équation proposée se divisera nécessairement en deux autres comme il suit :

${\begin{aligned}x+y&=2^{m}3^{2}a^{3},\\x^{2}-xy+y^{2}&=3r^{3},\end{aligned}}$

et l’on aura $z=3ar,$ $r$ étant premier à $3a.$

La seconde de ces équations peut se mettre sous la forme

$\left({\frac {x+y}{2}}\right)^{2}+3\left({\frac {x-y}{2}}\right)^{2}=3r^{3},\quad {\text{ou}}\quad \left({\frac {x-y}{2}}\right)^{2}+3\left({\frac {x+y}{6}}\right)^{2}=r^{3}\,;$

d’où l’on voit que $r,$ qui est toujours un nombre impair, doit être de la forme $f^{2}+3g^{2}.$ Faisant donc $r=f^{2}+3g^{2},$ puis $\left(f+g{\sqrt {-3}}\right)^{3}=\mathrm {F+G} {\sqrt {-3}},$ on aura $r^{3}=\mathrm {F^{2}+3G^{2}} ,$ et de l’équation précédente on déduira ${\frac {x-y}{2}}=\mathrm {F} ,$ ${\frac {x+y}{6}}=\mathrm {G} .$ Mais on a $\mathrm {G} =3g\left(f^{2}-g^{2}\right)\,;$ donc

$g\left(f^{2}-g^{2}\right)={\frac {x+y}{18}}=2^{m-1}a^{3}.$

Dans cette équation $g$ doit être divisible par $2^{m-1},$ car $f^{2}-g^{2}$ est nécessairement un nombre impair, puisque $f^{2}+3g^{2}$ en