donc comme ci-dessus ϐ
et ϐ
on aura l’équation
à laquelle on satisfait généralement en prenant
Cette dernière donne, en faisant les substitutions,
![{\displaystyle 2^{2m-1}3^{2n-3}\alpha ^{3}=g\left(f^{2}-g^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cac615ed19b66776d602ffcf77c58c2adb251b6)
Dans cette équation où
est impair, puisque
l’est, il faut que
soit divisible par
soit donc
on aura
Maintenant puisque le produit
est un cube et que les facteurs
sont premiers entre eux, il faut que chacun de ces facteurs soit un cube ; ainsi on devra faire
ce qui donnera
et en même temps
On tire de là l’équation
semblable à la proposée, où il faut observer que l’un des trois nombres
doit contenir le facteur
Or, d’après ce qui a été démontré dans la seconde partie, le terme
déjà divisible par
est nécessairement aussi divisible par
donc il faut faire
ce qui donnera
![{\displaystyle \mu ^{3}-\nu ^{3}=\left(2^{m}3^{n-1}\theta \right)^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b1b3b39327cd8c0d9205ac3aaacc8740413b574)
Ainsi de l’équation
où l’une des indéterminées est divisible par
on déduit une équation semblable où l’indéterminée correspondante est divisible par
Continuant donc ces transformations autant de fois qu’il y a d’unités dans
on parviendra à une dernière transformée
dans laquelle aucun des nombres
ne serait divisible par
Cette équation est impossible en vertu