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pouvoir être démontrés par les méthodes employées pour le 3^ième et le 5^ième degré ; nous savons seulement que la solution, s’il y en avait une, ne pourrait être donnée que par des nombres d’une grandeur excessive.

Nouvelle démonstration du théorème de Fermat dans le cas
du troisième degré.

49. Nous supposerons qu’il existe trois nombres entiers $x,y,z,$ positifs ou négatifs, qui satisfont à l’équation $x^{3}+y^{3}+z^{3}=0,$ avec la condition que ces trois nombres soient premiers entre eux, deux étant impairs et le troisième pair ; nous verrons quelles conséquences résultent de cette supposition. Notre démonstration sera divisée en trois parties.

I^re. L’un des nombres $x,y,z,$ doit être divisible par 3.

En effet, tout nombre non-divisible par $3,$ positif ou négatif, est de la forme $3m\pm 1,$ et son cube $27m^{3}\pm 27m^{2}+9m\pm 1$ est de la forme $9n\pm 1.$ Si donc aucun des nombres $x,y,z,$ n’était divisible par $3,$ la somme de leurs cubes $x^{3}+y^{3}+z^{3}$ devrait être de l’une des quatre formes $9n\pm 1,$ $9n\pm 3$ et ne pourrait par conséquent se réduire à zéro. Donc l’un des nombres $x,y,z,$ est nécessairement divisible par $3.$

II^e. Celle des indéterminées qui est paire, est en même temps,
divisible par $3.$

Désignons par $z$ l’indéterminée divisible par $2,$ et soit $z=-2^{m}u,$ $u$ étant un nombre impair, de sorte qu’on ait l’équation

$x^{3}+y^{3}=2^{3m}u^{3}\,;$