Mais puisque
et
sont divisibles par
et que
ne l’est pas, cette équation ne peut subsister à moins que
ne soit divisible par
Et comme on a en général
ce qui donne
on ne pourra admettre que les valeurs
d’où résultent
de sorte qu’on aura
ou
![{\displaystyle 5^{12}u^{''40}=123\mathrm {G} ''-55\mathrm {F} ''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab0b365c8f7e1f7f650b2d6ce5bcd1d30c94e3f5)
47. Nous retombons ainsi sur une équation semblable à l’équation déjà considérée
d’où il suit que les mêmes transformations pourront être continuées à l’infini, ce qui supposerait infinies les valeurs primitives des indéterminées.
Car ayant fait successivement
etc., on aura
etc., de sorte que le nombre des facteurs
augmente continuellement dans l’expression de
Ces facteurs sont déterminés par des équations qu’on peut réduire à la même forme, savoir
etc., d’ailleurs on a
etc., de sorte que la suite
etc., est rapidement croissante, même en supposant que les nombres
etc., aient l’unité pour limite. Donc les nombres
etc., toujours plus grands que
ne pourront être moindres que
ce qui rendra infinie la valeur de
Donc l’équation
n’admet aucune solution en nombres entiers.
48. Il est maintenant démontré que l’équation
ne peut avoir lieu toutes les fois que
qui est supposé impair, sera un multiple de
ou de
Quant aux autres cas du théorème de Fermat, ils ne semblent pas