soit donc
on aura
![{\displaystyle \mathrm {F'+G'} {\sqrt {5}}=\left[-h'+g'\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]^{5},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/055a0e60d6b676a383011f2273ee15ef741d6176)
ou en faisant le développement :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F'+G'} {\sqrt {5}}&=-h^{'5}+5h^{'4}g'\left(3+{\sqrt {5}}\right)-20h^{'3}g^{'2}\left(7+3{\sqrt {5}}\right)\\&+80h^{'2}g^{'3}\left(9+4{\sqrt {5}}\right)-40h'g^{'4}\left(47+21{\sqrt {5}}\right)\\&+16g^{'5}\left(123+55{\sqrt {5}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46e203e1ea873e92e1abe6343052ed688297e33a)
Multipliant tout par
et mettant au lieu de
la valeur fictive
on aura
ou
![{\displaystyle 5^{11}u^{20}=h'\left(11h^{'4}-42h^{'3}g'+64h^{'2}g^{'2}-48h'g^{'3}+16^{'4}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e52b6aa29a380ad4439129e9b9c11f786e14b03)
Maintenant
étant divisible par
et
ne l’étant pas, cette équation ne peut se partager en deux autres que de cette manière
![{\displaystyle h'=5^{11}u^{'20}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44cb672028720f89e43d84a9d22cd55e2b6089f1)
![{\displaystyle 11h^{'4}-42h^{'3}g'+64h^{'2}g^{'2}-48h'g^{'3}+16^{'4}=r^{''20},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97c395c57c2216aae3b4bec4ca7c7c746bdf135a)
ce qui suppose
et
premier à ![{\displaystyle 5u'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6b6037673ee2773365c6b6c44c30283087b216a)
Cette dernière équation peut être mise sous la forme
![{\displaystyle 4r^{''20}=\left(8g^{'2}-12g'h'+7h^{'2}\right)^{2}-5h^{'4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/910755fafb27b37bfdb7f8f1780b0e0e214a683d)
d’où il suit que
doit être de la forme
il en est de même de
on peut donc faire
ce qui donnera
Soit, maintenant
et
étant des nombres impairs, on pourra supposer
![{\displaystyle 8g^{'2}-12g'h'+7h^{'2}+h^{'2}+h^{'2}{\sqrt {5}}=\mathrm {\left(F''+G''{\sqrt {5}}\right)} \left(\mu +\nu {\sqrt {5}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe0d21a5615303dc2cf39a3de8a222cc5293783)
ce qui donnera
![{\displaystyle h^{'2}=\mu \mathrm {G} ''+\nu \mathrm {F} ''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66eb25b7643bf26a691c3c58927ff2d99919825)