Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 6.djvu/221

40. Ces formules contiennent une infinité de solutions, puisqu’on peut prendre pour $k$ un entier quelconque mais ces solutions en nombre infini, ne sont susceptibles que de cinq formes différentes.

En effet, quel que soit l’exposant $k,$ il sera toujours de l’une des cinq formes, $5i,\,5i\pm 1,\,5i\pm 2.$ Mais j’observe que la partie indéterminée $5i$ peut être supprimée comme étant comprise dans l’expression de $r^{5}.$ Car on peut faire $\left(f+g{\sqrt {5}}\right)\left(g\pm 3{\sqrt {5}}\right)^{i}=f'+g'{\sqrt {5}},$ et on aura de nouveau $r=f^{'2}-5g^{'2},$ de sorte qu’il suffira de mettre $f'$ et $g'$ à la place de $f$ et $g$ dans les valeurs de $\mathrm {F}$ et $\mathrm {G} .$ Il ne reste donc à considérer que les cinq valeurs $k=0,\,\pm 1,\,\pm 2,$ auxquelles répondent les valeurs de $m$ et n, comme il suit :

${\begin{aligned}m=&1,\quad 9,\quad 161,\\n=&0,\,\pm 4,\,\pm \ \ 72,\end{aligned}}$

41. Nous observerons encore que dans l’équation ${\frac {1}{2}}.5^{7}t^{10}=m\mathrm {G} +n\mathrm {F} ,$ où $\mathrm {G}$ est toujours divisible par $5,$ le terme $n\mathrm {F}$ ne peut être divisible par $5$ qu’autant que $n$ le sera : car $r$ étant premier à $5t,$ et sa valeur étant $f^{2}-5g^{2},$ $f$ ne peut être divisible par $5,$ ni par conséquent $\mathrm {F} .$ Donc des cinq valeurs de $n$ on ne peut admettre que la valeur $n=0$ qui répond à $m=1,$ ce qui donnera pour seule solution admissible

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}.5^{7}t^{10}&=\mathrm {G} =5g\left(f^{4}+10f^{2}g^{2}+5g^{4}\right),\\{\text{ou}}\qquad \qquad {\frac {1}{2}}.5^{6}t^{10}&=g\left(f^{4}+10f^{2}g^{2}+5g^{4}\right).\end{aligned}}$

Dans cette équation, les deux facteurs du second membre sont premiers entre eux, et il faut supposer $g$ pair ; car si $g$