Dans l’équation du 13ème degré on trouvera immédiatement
ce qui donne au moins
chiffres à l’un des nombres
et
et
à l’une des puissances 13èmes qui forment l’équation.
Dans l’équation du 17ème degré on aura
donc l’une des indéterminées aurait au moins
chiffres.
Ces exemples suffisent pour donner une idée de la grandeur
des nombres qui satisferaient à l’équation de Fermat, s’il y avait des cas où cette équation fût possible ce qui est déjà fort peu probable. Procédons maintenant à la démonstration de l’impossibilité dans le cas du 5e degré.
De l’Équation ![{\displaystyle x^{5}+y^{5}+z^{5}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef936138e7d39ca9fd01c9f60e5dec3bfec635cb)
38. Puisque, l’une des indéterminées doit être divisible par
et même par
soit
cette indéterminée on trouvera comme au no 8, que l’équation
se partage nécessairement en deux autres de cette manière :
![{\displaystyle y+z=5^{4}t^{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7ba140570ec8dc18a32327c8dec4b7f205990a2)
![{\displaystyle y^{4}-y^{3}z+y^{2}z^{2}-yz^{3}+z^{4}=5r^{5},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/734788f404dece7901e547ef2e47d8aaeeec53ea)
ce qui suppose
étant un nombre impair, positif et premier à ![{\displaystyle 5t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c96a3bf9933aa99ebc4d17d07ee43bcef6a484d)
Cela posé, il y a deux cas à distinguer selon que
sera
pair ou impair.
Premier cas, où l’on suppose
pair.
39. Alors
est pair,
et
sont impairs et la seconde des équations
pourra se mettre sous la forme