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36. Considérons maintenant le cas des septièmes puissances ; si on cherche d’après l’art. 26 les nombres premiers contenus dans les formules $2n+1,\,4n+1,\,8n+1,\,16n+1,\,10n+1,\,14n+1,$ où $n=7,$ on trouvera les trois nombres $29,\,71,\,113,$ qui doivent satisfaire aux deux conditions exigées n^o. 21 ; voici les résidus septièmes de ces trois nombres :

${\begin{array}{r|l}\theta &{\text{Résidus septièmes}}.\\\hline 29&\pm (1,12),\\71&\pm (1,5,14,17,25)\\113&\pm (1,15,18,35,40,42,44,48),\end{array}}$

où l’on voit qu’en effet les résidus ne satisfont point à l’équation $r'=r+1$ et ne contiennent pas lé nombre $7.$ Cela posé, on pourra démontrer que deux, de ces nombres savoir $29$ et $71,$ ne peuvent diviser que le facteur $a$ dans les formules de l’art. 8.

En effet, soit 1^o. $\theta =29,$ ce qui donne $2k=4\,;$ comme dans ce cas les résidus 7^ièmes sont $\pm 1\pm 12,$ on voit que l’équation $r'=r+2k$ n’est pas satisfaite ; car en ajoutant $4$ à ces résidus, on aurait les quatre nombres $3,\,5,\,-8,\,+16,$ dont aucun n’est compris parmi les résidus. Donc suivant l’art. 31, il faut que $29$ soit diviseur de $a.$ Soit 2^o. $\theta =71,$ on aura $2k=10,$ $\mathrm {M} =\pm (1,5,14,17,25)$ et l’équation $\rho '-1=0,$ où l’on néglige les multiples de $71,$ aura pour racine $\rho =20.$ De là résultent les valeurs de $\mathrm {B}$ et $\mathrm {B} '$ comme il suit :

${\begin{aligned}\mathrm {B} \ =&-13,24,-17,15,16,-35,\\\mathrm {B} '=&-23,14,-27,\ \ 5,\ \ 6,\;\;26,\end{aligned}}$