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cessivement les quatre diviseurs $\theta =11,\ 41,\ 71,\ 101,$ dont nous avons donné les résidus $5$^èmes art. 29.

Soit 1^o. $\theta =11,$ on aura $2k=2,$ et $\mathrm {M} =\pm 1.$ L’équation $\rho ^{5}-1=0,$ où l’on néglige les multiples de $11,$ a pour une de ses racines $\rho =5,$ ce qui donne les autres $\rho ^{2}=3,\ \rho ^{3}=4,\ \rho ^{4}=-2\ ;$ d’après ces valeurs voici les quatre suites $\mathrm {A,\,A',\,B,\,B'} ,$ où nous conservons l’ordre des puissances de $\rho \ :$

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {A} \ =&+5,\ +3,\ +4,\ -2,\qquad &\mathrm {B} \ =&-1,\ -5,\ -3,\ -4,\\\mathrm {A} '=&-2,\ -1,\ +4,\ -4,&\mathrm {B} '=&-3,\ +4,\ -5,\ +5.\end{alignedat}}$

On voit que $\mathrm {B} '$ n’a aucun terme commun avec $\mathrm {M} =\pm 1$ et qu’il en est de même de $\mathrm {A} \ ;$ donc $11$ ne divise ni $\beta \gamma$ ni $\alpha ,$ donc il divise le facteur de $x$ désigné par $a.$

Soit 2^o. $\theta =41,$ on aura $2k=8$ et $\mathrm {M} =\pm (1,\ 3,\ 9,\ 14)\ ;$ on satisfait à l’équation $\rho ^{5}-1=0,$ c’est-à-dire à l’équation $\rho ^{5}-1=\mathrm {M} (41),$ par la valeur $\rho =-4,$ de là ces quatre suites :

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {A} \ =&\ \ -4,+16,+18,+10,\qquad &\mathrm {B} \ =&+9,+5,-20,-\ \ 2,\\\mathrm {A} '=&+16,-\ \ 7,+\ \ 3,+\ \ 4,&\mathrm {B} '=&+1,-3,+13,-10.\end{alignedat}}$

Les termes correspondans $9$ et $1$ pris dans $\mathrm {B}$ et dans $\mathrm {B} ',$ sont compris dans la suite $\mathrm {M} \ ;$ donc il n’y a pas d’impossibilité à ce que $41$ divise $\beta \gamma .$

Il était inutile dans ces deux premiers cas de former les séries $\mathrm {A}$ et $\mathrm {A} '$ parce que les nombres $11$ et $41,$ ne sont pas de la forme $2hn^{2}+1$ ou $50h+1\ ;$ il en sera de même dans le cas suivant, mais elles deviendront nécessaires dans le cas $4$^ème, relativement au diviseur $101.$

Soit 3^o. $\theta =71,$ on aura $2k=14$ et $\mathrm {M} =\pm (1,\ 20,\ 23,26,30,32,34)\ ;$ l’équation $\rho ^{5}-1=0$ a pour