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que dans la suite

$\mathrm {B} '=2k(\rho -1),\ 2k(\rho ^{2}-1),\ 2k(\rho ^{3}-1),\dots 2k(\rho ^{n-1}-1),$

il y ait encore un ou plusieurs termes qui appartiennent à la suite $\mathrm {M} \ ;$ mais il faut de plus que les termes des suites $\mathrm {B}$ et $\mathrm {B} '$ communs avec $\mathrm {M} ,$ soient placés au même rang c’est-à-dire que le terme $2k\rho '$ de la suite $\mathrm {B}$ et le terme correspondant $2k\rho '-2k$ de la suite $\mathrm {B} ',$ soient compris l’un et l’autre dans la suite $\mathrm {M}$ des résidus $n$^ème. Si cette double condition n’est pas remplie on en conclura que $\theta$ n’est point diviseur de $\beta \gamma .$

33. Supposons 2^o que $\theta$ est diviseur de $\alpha ,$ on trouvera semblablement que dans les deux suites

${\begin{aligned}\mathrm {A} \ &=\rho ,\ \rho ^{2},\ \rho ^{3},\ldots \rho ^{n-1},\\\mathrm {A} '&=n(\rho -1),\ n(\rho ^{2}-1),\ n(\rho ^{3}-1),\dots n(\rho ^{n-1}-1),\end{aligned}}$

il devra se trouver deux termes correspondans $\rho ^{i},$ $n(\rho ^{i}-1),$ qui soient compris l’un et l’autre dans la suite $\mathrm {M} .$

Mais cette épreuve ne sera nécessaire que lorsque $\theta$ sera de la forme $2hn^{2}+1\ ;$ car on sait a priori (art. 10) que si le nombre premier $\theta$ est simplement de la forme $2kn+1$ dans laquelle $k$ n’est point divisible par $n,$ ce nombre ne peut être diviseur de $\alpha$

Au moyen de ces deux épreuves on décidera aisément dans chaque cas particulier, si $\theta$ peut-être diviseur de $\beta \gamma$ ou de $\alpha \ ;$ s’il ne divise ni l’un ni l’autre, on sera assuré qu’il doit être diviseur de $a.$

34. Soit par exemple $n=5,$ nous aurons à examiner suc-