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remonter à la valeur de la fonction

$\varphi (z,x)={\frac {z^{n}+x^{n}}{z+x}}\ ;$

ainsi il faudra résoudre l’équation $x^{n}+z^{n}=0,$ c’est-à-dire $=$ un multiple de $\theta ,$ et omettre la racine $x+z=0.$ Or on sait (Th. des N. art. 337) que la solution générale de cette équation est donnée par la formule $x=-z.\rho ^{m},$ $\rho ^{m}$étant une puissance quelconque du nombre $\rho$ qui satisfait à l’équation $\rho ^{n}-1=0,$ c’est-à-dire $\rho ^{n}-1=$ à un multiple de $\theta .$

Cela posé, si on exclut la valeur $x=-z$ les $n-1$ racines de l’équation $\varphi (x,z)=0,$ seront, en omettant toujours les multiples de $\theta ,$ $x=-z(\rho ,\rho ^{2},\rho ^{3},\dots \rho ^{n-1}),$ et parce que $x=c^{n}$ et $z=-2ka^{n},$ on aura les $n-1$ valeurs

$c^{n}=a^{n}(2k\rho ,\ 2k\rho ^{2},\ 2k\rho ^{3}\dots \ 2k\rho ^{n-1}).$

Dans cette équation ${\frac {c^{n}}{a^{n}}}$ peut être considéré comme un résidu $n$^ème donc il faudra que dans la suite

$\mathrm {B} =2k\rho ,\ 2k\rho ^{2},\ 2k\rho ^{3}\dots \ 2k^{n-1},$

il se trouve un ou plusieurs termes communs avec la suite des résidus $\mathrm {M} =\pm (1,\ \mu ,\ \mu ^{2},\ \mu ^{3},\dots ,\mu ^{k-1}).$

S’il ne se trouvait aucun terme commun entre ces deux suites, on en conclurait que $\theta$ n’est point diviseur de $\beta$ ni par conséquent de $\gamma ,$ car l’épreuve est la même pour l’un et pour l’autre.

S’il y a un ou plusieurs termes communs entre ces deux suites il faudra encore qu’ils satisfassent à la condition $z+x=b^{n}\ ;$ et parce que ${\frac {b^{n}}{a^{n}}}$ doit encore être un résidu $n$^ème, il faudra