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bres designés par $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ puisque $\alpha \beta \gamma ,$ n’a aucun diviseur commun avec $nabc,$ il faudra que $\theta$ ne divise aucun des nombres $a,$ $b,$ $c\ ;$ cependant comme il doit être diviseur de l’un des nombres $x,$ $y,$ $z,$ on voit par les valeurs de ces nombres données ci-dessus, que l’une des quantités

$b^{n}+c^{n}-{\frac {1}{n}}a^{n},\quad c^{n}+{\frac {1}{n}}a^{n}-b^{n},\quad {\frac {1}{n}}a^{n}+b^{n}-c^{n},$

doit être zéro, en rejetant les multiples de $\theta \ ;$ et comme dans le même cas ${\displaystyle }$ cette condition exige que parmi les résidus $r,$ $r',$ $r'',$ etc., il y en ait deux $r$ et $r'$ qui satisfassent à l’équation $r'-r=2k.$ C’est ce qu’on vérifiera aisément en ajoutant $2k$ à tous les termes de la suite $\pm (1,\mu ,\mu ^{2},\dots \mu ^{k-1}),$ et voyant si la seconde suite ainsi formée a un ou plusieurs termes communs avec la première suite. Si elle n’en a point l’équation $r'-r=2k$ est impossible, donc $\theta$ ne saurait diviser $\alpha \beta \gamma ,$ et puisque d’ailleurs il ne divise pas $bc,$ il divisera nécessairement le facteur $a,$ l’un des deux dont $x$ est composé.

Cette vérification, si elle réussit, dispensera des deux suivantes.

32. En général on peut par deux opérations assez simples déterminer si $\theta$ peut être diviseur de $\beta \gamma ,$ et s’il peut l’être de $\alpha .$

Supposons 1^o que $\theta$ divise $\beta ,$ alors en omettant les multiples de $\theta$ on aura

$\beta =0,\;\;y=0,\;\;z={\frac {1}{n}}a^{n}=-2ka^{n},\;\;x=c^{n},\;\;z+x=b^{n},\;\;\varphi (z,x)=0.$

Et d’abord pour résoudre cette dernière équation il faut