dus. Cette dernière circonstance permet de démontrer que
les trois nombres
divisent la même indéterminée
déjà divisible par
et de plus que cette propriété n’appartient
qu’au plus petit
des deux facteurs
dont la
valeur de
est composée. Voici les moyens de parvenir à
cette démonstration, d’où l’on déduira quelques conséquences
importantes pour les autres cas du théorème de Fermat.
30. Reprenons pour cet effet les équations de l’art. 8, savoir
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}y+z=&{\frac {1}{n}}a^{n},\qquad &x=&-a\alpha ={\frac {1}{2}}\left(b^{n}+c^{n}-{\frac {1}{n}}a^{n}\right),\qquad &\varphi (x,z)=&n\alpha ^{n},\\z+x=&b^{n},&y=&-b\beta ={\frac {1}{2}}\left(c^{n}+{\frac {1}{n}}a^{n}-b^{n}\right),&\varphi (x,z)=&\beta ^{n},\\x+y=&c^{n},&z=&-c\gamma ={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{n}}a^{n}+b^{n}-c^{n}\right),&\varphi (x,z)=&\gamma ^{n},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eb79398d904717c27b83804bfe287008ed678af)
et supposons que le nombre
de la forme
réunit
les deux conditions exigées dans l’art. 21. On peut prouver
en général que
n’est point diviseur de
car supposons,
s’il est possible, que
divise
il divisera en même temps
et, en supprimant les multiples de
on aura
et
De là on déduit
donc
De là on déduit
donc
Représentons par
et
les résidus des puissances
et
divisées par
nous aurons
ou
donc
serait un des résidus
compris dans la suite
ce qui est contre la supposition. On prouvera
de même que
ne divise point
donc
ne divise
point
31. En second lieu, supposons que
divise l’un des nom-