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montrée par la table pour tous les nombres premiers $n$ moindres que $100,$ s’étend généralement à tous les nombres premiers $n$ tels que dans les six formules $2n+1,$ $4n+1,$ $10n+1,$ $14n+1,$ $16n+1,$ il y ait au moins un nombre premier, ce qui permet d’étendre immédiatement la table jusqu’à $n=197$ qui dépend du nombre premier $\theta =38n+1=7487.$

29. Dans le cas de $n=5,$ ces six formules donnent les trois nombres premiers $11,\ 41,\ 71,$ qui remplissent par conséquent les conditions exigées dans la table ; la formule $\theta =10k+1$ donne encore le nombre $101$ qui satisfait aux deux mêmes conditions. Mais depuis $101$ jusqu’à $1000$ on ne trouve aucun nombre $10k+1,$ ou plutôt $30k'+11$ (car $30k'+1$ est exclu par le n^o 23) qui ne satisfasse à l’équation $r'=r+1,$ ce qui doit faire présumer que $101$ est le dernier des nombres qui remplissent les deux conditions de la table. Nous ne connaissons donc que les quatre nombres $11,\ 41,\ 71,\ 101$ qui divisent nécessairement $xyz$ dans l’équation $x^{5}+y^{5}+z^{5}=0.$ Voici les résidus cinquièmes qui répondent à ces quatre valeurs de $\theta .$

$\theta .$	Résidus cinquièmes.
$11$	$\pm 1,$
$41$	$\pm (1,\ 3,\ 9,\ 14),$
$71$	$\pm (1,\ 20,\ 23,\ 26,\ 30,\ 32,\ 34),$
$101$	$\pm (1,\ 6,\ 10,\ 14,\ 17,\ 32,\ 36,\ 39,\ 41,\ 44).$

D’où l’on voit que, non-seulement l’équation $r'=r+1$ n’est pas satisfaite, mais que $5$ n’est pas compris parmi les rési-