Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 6.djvu/209

ou parce que ${\frac {1}{\mu ^{2}}}=-\mu ^{4},$ $\mu ^{4}=\mp 4\ ;$ donc $-1=16,$ c’est-à-dire $\theta =17,$ valeur qui supposerait $n=1.$

La troisième équation $\mu ^{4}\mp 1=\mu$ étant élevée au carré, donne $\mp \mu ^{4}=\mu ^{2}\ ;$ le carré de celle-ci est $-4=\mu ^{4}$ d’où résulte encore $16=-1,$ ou $\theta =17.$

La quatrième $\mu ^{4}\mp =\pm \mu ^{2}$ élevée au carré, donne $\mp 2\mu ^{4}=\mu ^{4},$ ou $1=\mp 2,$ équation impossible.

Enfin on trouvera de même que les équations $\mu ^{5}=\pm \mu +1,$ $\mu ^{5}=\mu ^{2}\pm 2,$ conduisent à des résultats impossibles.

Donc la première condition est satisfaite. Quant à la seconde on trouve également qu’elle l’est, à moins que $\theta$ ne soit diviseur de $16^{8}\pm 1$ ou de $2^{32}\pm 1.$ Or on sait (Th. des N., art. 162) que le nombre $2^{32}-1$ n’a d’autres diviseurs premiers $16n+1$ que $17257$ et $65537$ qui supposent $u=\ 1,\ 16,\ 4096,$ valeurs exclues ; on sait également par l’art. 157, que le nombre ${\displaystyle }$ n’a que les diviseurs premiers $641$ et $6700417,$ qui supposent $n=40$ et $n=418776,$ or ceux-ci ne sont pas des nombres premiers. Donc il n’y a aucune exception et les deux conditions seront toujours remplies lorsqu’on aura $\theta =16n+1.$

28. On peut vérifier de la même manière que les deux conditions sont encore remplies pour les cas de $\theta =10n+1$ et $\theta =14n+1.$ Dans le dernier cas, la seconde condition ne souffrirait d’exception que pour les diviseurs premiers $14n+1$ de $14^{7}\pm 1.$ Or $14^{7}+1$ est le produit de $15$ par le nombre $7027567$ qui est premier, mais pour lequel on aurait $n=501969$ qui n’est pas premier ; et $14^{7}-1$ est le produit de $13$ par $8108731$ qui est un nombre premier $14n+1,$ mais pour lequel $n$ n’est pas premier. Ainsi la proposition dé-