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à-dire que $n$ ne sera pas comprise parmi les valeurs de $r.$ Si elle l’était on aurait $n^{4}=\pm 1\ ;$ d’un autre côté on a $1=-8n+\theta ,$ ou simplement $1=-8n,$ et par conséquent $1=8^{4}n^{4},$ donc $n^{4}=\pm 8^{4}n^{4},$ ou $8^{4}\pm 1=0,$ ce qui veut dire que $\theta$ ne pourra être qu’un diviseur de $8^{4}\pm 1\ ;$ or $8^{4}+1$ n’a pour diviseur aucun nombre premier de la forme $8n+1$ et $8^{4}n+1$ en a deux, savoir $17$ et $241\ ;$ mais ceux-ci supposent $n=2$ et $n=30,$ l’un n’étant pas premier, l’autre n’étant pas impair. Donc nos deux conditions seront remplies sans aucune exception, toutes les fois qu’on aura $\theta =8n+1.$

27. Soit encore $\theta =16n+1,$ on pourra toujours trouver une valeur de $\mu$ telle qu’en omettant les multiples de $\theta$ on ait $\mu ^{8}=-1,$ et les $16$ valeurs du résidu $r$ seront ainsi représentées $r=\pm (1,\mu ,\mu ^{2},\dots \mu ^{7}).$ Maintenant si l’équation $r'=r+1$ entre deux résidus pouvait avoir lieu, elle se réduirait toujours à l’une des six équations

$\mu ^{2}=\mu \pm 1,\quad \mu ^{3}=\pm \mu +1,\quad \mu ^{4}=\mu \pm 1,\quad \mu ^{4}=\pm \mu ^{2}\pm 1,$

$\mu ^{5}=\pm \mu +1,\quad \mu ^{5}=\mu ^{2}\pm 1.$

Or de la première on déduit $(\mu ^{2}\mp 1)^{2}=\mu ^{2}$ ou $\mu ^{4}+1=\mu ^{2}(1\pm 2),$ et le carré de celle-ci est $2\mu ^{4}=\mu ^{4}(1\mp 2)^{2},$ ou $(1\pm 2)^{2}=2,$ équation impossible.

La seconde équation donne

$\mu ^{2}(\mu ^{2}\mp 1)^{2}=1\qquad {\text{ou}}\qquad \mu ^{4}\mp 2\mu ^{2}+1={\frac {1}{\mu ^{2}}}\ ;$

donc

$-\mu ^{4}+1=\pm 2\mu ^{2}+{\frac {1}{\mu ^{2}}}\ ;$

le carré de celle-ci est

$2\mu ^{4}=4\mu ^{4}\pm 4{\frac {1}{\mu ^{4}}},$