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mer que la loi est générale ; c’est-à-dire que toutes les fois que $2n+1$ est un nombre premier en même temps que $n,$ ce nombre $2n+1$ ou $\theta$ satisfera aux deux conditions prescrites, savoir que l’équation $r'=r+1$ entre deux résidus $n$^ème n’a pas lieu, et que $n$ n’est pas un de ces résidus. En effet dans ce cas il n’y a que deux résidus $+1$ et $-1,$ qui ne satisfont point à l’équation $r'=r+1,$ et $n$ n’est pas un de ces résidus.

25. On peut prouver de même que lorsqu’on a $\theta =4n+1,$ ces deux conditions sont encore satisfaites. Dans ce cas il y aura 4 résidus $r$ à déduire de l’équation $r^{4}-1=0,$ laquelle se divise en deux autres $r^{2}-1=0,\ r^{2}+1=0.$ La seconde d’où il faut déduire le nombre $\mu$ est facile à résoudre ; car on sait que dans le cas dont il s’agit $\theta$ peut être mis sous la forme $a^{2}+b^{2},$ il suffira donc de déterminer $\mu$ par la condition que $a+b\mu$ soit divisible par $\theta ,$ et $\mu ^{2}+1$ sera divisible par $\theta \ ;$ de sorte qu’en omettant les multiples de $\theta ,$ on pourra faire $\mu ^{2}=-1$ et les quatre valeurs de $r$ seront $r=\pm (1,\mu ).$

De là on voit que la condition $r'=r+1$ ne pourrait être satisfaite que dans le cas de $\mu =2,$ alors on aurait $\theta =5$ et $n=1,$ cas exclu. La seconde condition qui exigerait que $\mu =n,$ donne en omettant les multiples de $\theta ,$ $n^{2}=-1\ ;$ mais par la même omission on a $1+4n=0,$ et $1=16n^{2}\ ;$ donc $n^{2}=-16n^{2},$ ou $17=0,$ c’est-à-dire que $17$ serait le nombre $\theta \ ;$ mais alors on aurait $n=4$ qui n’est pas un nombre premier.

Donc toutes les fois que $n$ et $4n+1$ seront l’un et l’autre des nombres premiers, le nombre $\theta =4n+1$ satisfera aux deux conditions requises.

26. L’analogie porte à croire qu’il en sera de même dans