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On voit dans ce tableau, que l’équation $r'-r=1$ n’est satisfaite dans aucun cas, c’est-à-dire qu’il n’y a pas deux restes dont la différence soit égale à l’unité. On voit de même que l’exposant $n$ n’est pas compris parmi les valeurs de $r.$ Ainsi la proposition est démontrée, en quelque sorte d’un trait de plume, pour toutes les valeurs de $n$ moindres que $100$^[1].

23. Dans le tableau précédent on peut remarquer que la valeur de $k$ qui sert à former le nombre auxiliaire $\theta =2nk+1,$ est un terme de la série $1,\ 2,\ 4,\ 5,\ 7,\ 8,$ où l’on ne trouve ni $3$ ni $6.$ Cette suite s’étendrait plus loin si le tableau lui-même était prolongé au-déjà de la limite $n=97\ ;$ mais on n’y trouverait aucun nombre divisible par $3.$ En effet si $k$ était divisible par $3,$ il serait toujours possible de satisfaire à l’équation $r'=r+1,$ et l’une des conditions exigées n’aurait pas lieu. Car en faisant $k=3i,$ le nombre $\mu$ qui par ses puissances successives forme les $2k$ valeurs du résidu $r,$ devra satisfaire à l’équation $\mu ^{k}=-1$ ou $\mu ^{3i}+1=0$ Rejetant dans le premier membre le facteur $\mu ^{i}+1$ qui ne peut pas être zéro par la nature du nombre $\mu$ (art. 21) on aura $\mu ^{2i}-\mu ^{i}+1=0\ ;$ ainsi en faisant $\mu ^{i}=r',$ $\mu ^{2i}=r$ on aurait $r'=r+1.$

24. Si l’on remarque que la valeur $\theta =2n+1$ s’applique à 9 des 24 cas contenus dans le tableau on pourra présu-

1. Cette démonstration qu’on trouvera sans doute très ingénieuse, est due à M^lle  Sophie Germain, qui cultive avec succès les sciences physiques et mathématiques, comme le prouve le prix qu’elle a remporté à l’Académie sur les vibrations des lames élastiques. On lui doit encore la proposition de l’art. 13 et celle qui concerne la forme particulière des diviseurs premiers de $\alpha$, donnée dans l’art. 11.