z = b n , y = c n , z = − y ; {\displaystyle z=b^{n},\ y=c^{n},\ z=-y\ ;} ensuite les valeurs x = 0 , z = − y {\displaystyle x=0,\ z=-y} étant substituées dans les équations φ ( y , z ) = α n , {\displaystyle \varphi (y,z)=\alpha ^{n},} φ ( x , y ) = β n , {\displaystyle \varphi (x,y)=\beta ^{n},} φ ( x , y ) = γ n , {\displaystyle \varphi (x,y)=\gamma ^{n},} il en résulte n y n − 1 = α n , {\displaystyle ny^{n-1}=\alpha ^{n},} z n − 1 = β n , {\displaystyle z^{n-1}=\beta ^{n},} y n − 1 = γ n , {\displaystyle y^{n-1}=\gamma ^{n},} Donc n y n = α n . {\displaystyle ny^{n}=\alpha ^{n}.}
Mais puisqu’on a θ = 2 k n + 1 , {\displaystyle \theta =2kn+1,} si on appelle r {\displaystyle r} un résidu quelconque de la puissance x n , {\displaystyle x^{n},} non divisible par θ , {\displaystyle \theta ,} on sait par les propriétés de ces résidus (Th. des N. art. 336), que les 2 k {\displaystyle 2k} valeurs de r {\displaystyle r} qui satisfont à l’équation μ 2 k = 1 , {\displaystyle \mu ^{2k}=1,} sont représentées par la suite 1 , μ , μ 2 , … μ 2 k − 1 , {\displaystyle 1,\ \mu ,\ \mu ^{2},\dots \mu ^{2k-1},} formée des puissances successives d’un même nombre μ , {\displaystyle \mu ,} dont la propriété est telle que μ k = − 1 , {\displaystyle \mu ^{k}=-1,} et qu’aucune autre puissance de μ {\displaystyle \mu } dont le degré serait inférieur à k , {\displaystyle k,} ne peut donner le reste − 1. {\displaystyle -1.} Il en résulte donc qu’on pourra faire α n = μ i {\displaystyle \alpha ^{n}=\mu ^{i}} et γ n = μ e {\displaystyle \gamma ^{n}=\mu ^{e}} et alors l’équation n γ n = a n {\displaystyle n\gamma ^{n}=a^{n}} donnerait n = μ i − e {\displaystyle n=\mu ^{i-e}} donc n {\displaystyle n} serait un résidu de puissance n {\displaystyle n} ème, ce qui est contre la supposition.
22. Tout se réduit par conséquent à prouver qu’il existe pour chaque valeur de n {\displaystyle n} un nombre premier θ {\displaystyle \theta } qui satisfait aux deux conditions mentionnées. Voici un tableau dressé à cet effet pour toutes les valeurs de n {\displaystyle n} moindres que 100. {\displaystyle 100.}
