![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}z+x=&b^{n},\qquad &\varphi (z,x)=&\beta ^{n},\qquad &x=-b\beta =&{\frac {1}{2}}(c^{n}+a^{n}-b^{n}),\\x+y=&c^{n},&\varphi (x,y)=&\gamma ^{n},&z=-c\gamma =&{\frac {1}{2}}(a^{n}+b^{n}-c^{n}).\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87ce15fbb45c4fa9656869d1d6b24979c970623e)
Or nous allons faire voir que ces équations ne peuvent avoir
lieu.
Pour cela supposons, ce qui sera prouvé ultérieurement,
qu’il existe, pour chaque valeur de
un nombre premier
tel qu’on ne peut pas satisfaire à l’équation
et
étant deux résidus de puissances
Mes divisées par
et tel en même que
ne soit pas un de ces
résidus. Voici les conséquences qui résultent de l’hypothèse
que
n’est pas diviseur de
Il faut d’abord que l’un des nombres
soit divisible
par
car dans le cas contraire, on serait conduit comme
dans le no 18 à l’équation
qui n’a pas lieu. Soit ce
nombre
alors
sera aussi divisible par
de sorte
qu’en omettant les multiples de
on aura
Je
conclus de cette dernière équation ; que l’un des nombres
est divisible par
sans quoi on serait conduit de nouveau
à l’équation
qui n’a pas lieu. Ce nombre divisible
ne peut être ni
ni
car si cela était,
aurait un
commun diviseur avec l’un des nombres
et
exprimés par
et
Donc le nombre divisible par
ne peut être
que
Cela posé, en omettant toujours les multiples de
on aura
les équations conditionnelles[1]
- ↑ Ces équations entre des restes provenant de la division de plusieurs
nombres par un même nombre premier
se traitent comme les équations
ordinaires, sans qu’il soit besoin des signes nouveaux d’égalité ni des dénominations
nouvelles assez incongrues dont quelques géomètres font usage.