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${\begin{alignedat}{3}z+x=&b^{n},\qquad &\varphi (z,x)=&\beta ^{n},\qquad &x=-b\beta =&{\frac {1}{2}}(c^{n}+a^{n}-b^{n}),\\x+y=&c^{n},&\varphi (x,y)=&\gamma ^{n},&z=-c\gamma =&{\frac {1}{2}}(a^{n}+b^{n}-c^{n}).\end{alignedat}}$

Or nous allons faire voir que ces équations ne peuvent avoir lieu.

Pour cela supposons, ce qui sera prouvé ultérieurement, qu’il existe, pour chaque valeur de $n,$ un nombre premier $\theta =2kn+1,$ tel qu’on ne peut pas satisfaire à l’équation $r'=r+1,$ $r$ et $r'$ étant deux résidus de puissances $n$M^es divisées par $\theta ,$ et tel en même que $n$ ne soit pas un de ces résidus. Voici les conséquences qui résultent de l’hypothèse que $n$ n’est pas diviseur de $xyz.$

Il faut d’abord que l’un des nombres $x,\ y,\ z,$ soit divisible par $\theta ,$ car dans le cas contraire, on serait conduit comme dans le n^o 18 à l’équation $r'=r+1$ qui n’a pas lieu. Soit ce nombre $x,$ alors $b^{n}+c^{n}-a^{n}$ sera aussi divisible par $\theta ,$ de sorte qu’en omettant les multiples de $\theta$ on aura $b^{n}+c^{n}-a^{n}=0$ Je conclus de cette dernière équation ; que l’un des nombres $a,\ b,\ c,$ est divisible par $\theta ,$ sans quoi on serait conduit de nouveau à l’équation $r'=r+1$ qui n’a pas lieu. Ce nombre divisible ne peut être ni $b$ ni $c\ ;$ car si cela était, $x$ aurait un commun diviseur avec l’un des nombres $y$ et $z$ exprimés par $-b\beta$ et $-c\gamma .$ Donc le nombre divisible par $\theta$ ne peut être que $a.$

Cela posé, en omettant toujours les multiples de $\theta$ on aura les équations conditionnelles^[1] $x=0,$ $a=0,$ $b^{n}+c^{n},$

1. Ces équations entre des restes provenant de la division de plusieurs nombres par un même nombre premier $\theta ,$ se traitent comme les équations ordinaires, sans qu’il soit besoin des signes nouveaux d’égalité ni des dénominations nouvelles assez incongrues dont quelques géomètres font usage.