ce qui donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} &=f(f^{6}-3.7^{2}f^{4}g^{2}+5.7^{3}f^{2}g^{4}-7^{4}g^{6}),\\\mathrm {G} &=7g(f^{6}-5.7f^{4}g^{2}+3.7^{2}f^{2}g^{4}-7^{2}g^{6}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba9a6c1c498a201e7747dd038c699389fc85c6f1)
on aura l’équation
à laquelle on
satisfait généralement par les valeurs
![{\displaystyle {\begin{aligned}y^{3}+z^{3}-{\frac {1}{2}}yz(y+z)&=\mathrm {F} ,\\{\frac {1}{2}}yz(y-z)&=\mathrm {G} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fab38807086ba7037dd8f05cf404a52af9c09e3c)
Mais puisque
est divisible par
il faudra que
le soit aussi ; et comme dans notre hypothèse
est non-divisible,
il faudra que
soit divisible.
On prouvera de même par l’équation
que
doit être divisible par
donc la somme de tes deux
quantités,
serait divisible. D’un autre côté,
est toujours divisible par
donc il faudrait que
et par conséquent
fût divisible par
ce qui est contre
l’hypothèse. Donc enfin dans le cas de
l’une des indéterminées
est nécessairement divisible par
et même
par
Le même mode de démonstration pourrait s’appliquer aux
valeurs
mais il ne réussirait pas pour la valeur
C’est pourquoi nous allons exposer une autre démonstration
fort simple et d’une généralité presque absolue.
21. Si l’équation
est possible avec la condition
qu’aucun des nombres
n’est divisible par
il
faudra, conformément à l’art. 12, qu’on puisse satisfaire aux
équations suivantes où
n’a aucun diviseur commun avec
![{\displaystyle y+z=a^{n},\qquad \varphi (y,z)=\alpha ^{n},\qquad x=-a\alpha ={\frac {1}{2}}(b^{n}+c^{n}-a^{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70fb14391e47062589461ddcc57772b566ca7c99)