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ce qui donne

${\begin{aligned}\mathrm {F} &=f(f^{6}-3.7^{2}f^{4}g^{2}+5.7^{3}f^{2}g^{4}-7^{4}g^{6}),\\\mathrm {G} &=7g(f^{6}-5.7f^{4}g^{2}+3.7^{2}f^{2}g^{4}-7^{2}g^{6}),\end{aligned}}$

on aura l’équation $\left({\frac {1}{2}}\mathrm {Y} \right)^{2}+7\left({\frac {1}{2}}\mathrm {Z} \right)^{2}\ =\ \mathrm {F} ^{2}+7\mathrm {G} ^{2},$ à laquelle on satisfait généralement par les valeurs

${\begin{aligned}y^{3}+z^{3}-{\frac {1}{2}}yz(y+z)&=\mathrm {F} ,\\{\frac {1}{2}}yz(y-z)&=\mathrm {G} .\end{aligned}}$

Mais puisque $\mathrm {G}$ est divisible par $7,$ il faudra que $yz(y-z)$ le soit aussi ; et comme dans notre hypothèse $yz$ est non-divisible, il faudra que $y-z$ soit divisible.

On prouvera de même par l’équation $\varphi (z,x)=\beta ^{7},$ que $x-z$ doit être divisible par $7$ donc la somme de tes deux quantités, $x+y-2z$ serait divisible. D’un autre côté, $x+y+z$ est toujours divisible par $7\ ;$ donc il faudrait que $3z$ et par conséquent $z$ fût divisible par $7,$ ce qui est contre l’hypothèse. Donc enfin dans le cas de $n=7,$ l’une des indéterminées est nécessairement divisible par $7$ et même par $7^{2}.$

Le même mode de démonstration pourrait s’appliquer aux valeurs $n=11,\ n=19,$ mais il ne réussirait pas pour la valeur $n=13.$ C’est pourquoi nous allons exposer une autre démonstration fort simple et d’une généralité presque absolue.

21. Si l’équation $x^{n}+y^{n}+z^{n}=0$ est possible avec la condition qu’aucun des nombres $x,\ y,\ z,$ n’est divisible par $n,$ il faudra, conformément à l’art. 12, qu’on puisse satisfaire aux équations suivantes où $\alpha \beta \gamma$ n’a aucun diviseur commun avec $nabc.$

$y+z=a^{n},\qquad \varphi (y,z)=\alpha ^{n},\qquad x=-a\alpha ={\frac {1}{2}}(b^{n}+c^{n}-a^{n}),$