dans la série des restes on doit en conclure qu’il y a nécessairement
un des nombres
divisible par
19. Revenons au cas de
et faisons
dans les
formules du no 14, nous aurons
![{\displaystyle p^{7}=7(pq-r)\left[(p^{2}-q)^{2}+pr\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55bb7bfa9ecb90bc396ef8c86688f4cbb8ec63ed)
Le facteur
peut être exprimé par
![{\displaystyle \left({\frac {p^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2}}\right)^{2}+pxyz\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a60dc6c402b5cb56d27377189d374d7c8f35bc0f)
si donc aucune des indéterminées
n’était divisible
par
il faudrait que
fût divisible ; mais cette
condition ne présente aucun signe d’impossibilité, car le
carré de tout nombre non divisible par
est de l’une des
trois formes
et la somme des trois restes
est divisible par
Cette considération est donc insuffisante
pour notre objet, et il faut recourir à d’autres moyens.
20. Étant proposé l’équation
où l’on suppose
non divisible par
on pourra faire d’abord comme
ci-dessus
![{\displaystyle y+z=a^{7},\qquad \varphi (y,z)=a^{7},\qquad x=-a\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c6ba479ecab501986df5fae6c2d42891b34e3a8)
étant premier à
Mais on sait que
peut se mettre
sous la forme
où l’on a
![{\displaystyle \mathrm {Y} =2y^{3}-y^{2}z-yz^{2}+2z^{3}\qquad {\text{et}}\qquad \mathrm {Z} =yz(y-z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59679b1d6a5d97235aa0cc634c714269ff7aeef)
On aura donc
ou simplement
car
et
seront toujours des nombres pairs.
Cette équation fait voir que
diviseur de la formule
doit être de cette même forme, et qu’ainsi on peut supposer
faisant ensuite