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dans la série des restes on doit en conclure qu’il y a nécessairement un des nombres $x,\ y,\ z,$ divisible par $\theta .$

19. Revenons au cas de $n=7,$ et faisons $\mathrm {S} =0$ dans les formules du n^o 14, nous aurons

$p^{7}=7(pq-r)\left[(p^{2}-q)^{2}+pr\right].$

Le facteur $(p^{2}-q)^{2}+pr$ peut être exprimé par

$\left({\frac {p^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2}}\right)^{2}+pxyz\ ;$

si donc aucune des indéterminées $x,\ y,\ z,$ n’était divisible par $7,$ il faudrait que $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ fût divisible ; mais cette condition ne présente aucun signe d’impossibilité, car le carré de tout nombre non divisible par $7$ est de l’une des trois formes $7m+1,\ 2,\ 4,$ et la somme des trois restes $1,\ 2,\ 4,$ est divisible par $7.$ Cette considération est donc insuffisante pour notre objet, et il faut recourir à d’autres moyens.

20. Étant proposé l’équation $x^{7}+y^{7}+z^{7}=0,$ où l’on suppose $xyz$ non divisible par $7,$ on pourra faire d’abord comme ci-dessus

$y+z=a^{7},\qquad \varphi (y,z)=a^{7},\qquad x=-a\alpha ,$

$\alpha$ étant premier à $7a.$ Mais on sait que $4\varphi (y,z)$ peut se mettre sous la forme $\mathrm {Y^{2}+7Z^{2}} ,$ où l’on a

$\mathrm {Y} =2y^{3}-y^{2}z-yz^{2}+2z^{3}\qquad {\text{et}}\qquad \mathrm {Z} =yz(y-z).$

On aura donc $4\alpha ^{7}=\mathrm {Y^{2}+7Z^{2}} ,$ ou simplement $\alpha ^{7}=\left({\frac {1}{2}}\mathrm {Y} \right)^{2}+7\left({\frac {1}{2}}\mathrm {Z} \right)^{2}\ ;$ car $\mathrm {Y}$ et $\mathrm {Z}$ seront toujours des nombres pairs. Cette équation fait voir que $\alpha$ diviseur de la formule $t^{2}+7u^{2},$ doit être de cette même forme, et qu’ainsi on peut supposer $\alpha =f^{2}+7g^{2}\ ;$ faisant ensuite $\left(f+g{\sqrt {-7}}\right)^{7}=\mathrm {F+G} {\sqrt {-7}},$