généralement
donneraient la somme
divisible par
Mais voici
deux autres cas qui réussissent, ce sont ceux de
et
En effet, 1o. la puissance
ème de tout nombre non divisible
par
est toujours de l’une de ces formes
Or dans les cinq nombres
il
n’y en a pas deux qui se suivent immédiatement ou dont la
différence soit l’unité. Donc trois de ces nombres ne peuvent
faire ni la somme
ni la somme
Donc l’équation
étant supposée possible, un des nombres
sera divisible par
2o. La puissance
ème de tout nombre non divisible par
est de l’une des 16 formes
or parmi ces restes on n’en trouve pas deux qui
se suivent à une unité de différence ; donc dans l’équation
un des nombres
sera divisible
par
18. Le principe dont nous venons de faire usage se démontre
ainsi :
Supposons qu’on ait
et soit
un nombre
premier non diviseur de
puisque
et
sont premiers
entre eux, on peut supposer
et en
faisant la substitution on verra que
est divisible
par
ou qu’en supprimant les multiples de
on a
donc parmi les restes des puissances
ème divisées
par
il y en aura toujours un, provenant de
ou
de
qui sera plus grand d’une unité que le reste provenant
de
Si cette condition ne se trouve pas remplie