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Si aucun des nombres $x+y,\ y+z,\ z+x,$ n’est divisible par $5,$ il faudra que le facteur $p^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2},$ ou simplement sa partie $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ soit divisible. Mais tout nombre non divisible par $5$ est représenté par $5m\pm 1$ ou par $5m\pm 2,$ et son carré l’est par $5m\pm 1\ ;$ or trois nombres étant de la forme $5m\pm 1,$ leur somme ne peut être que de l’une des quatre formes $5m\pm 1,$ $5m\pm 3\ ;$ il est donc impossible que $x^{2}+y^{2}+z^{2},$ soit divisible par $5,$ si aucun des nombres $x,\ y$ n’est divisible. Donc dans le cas de $n=5,$ il y a nécessairement une des indéterminées divisible par $5,$ elle l’est donc en même temps par $25$ ainsi que la somme $x+y+z=p.$

17. Ces deux premiers cas peuvent être démontrés d’une manière beaucoup plus simple ; comme il suit.

1^o. Un cube quelconque non divisible par $3$ est nécessairement de l’une des deux formes $9m\pm 1.$ Or trois des restes $\pm 1$ ne peuvent faire ni la somme zéro, ni la somme $9\ ;$ donc si l’on peut satisfaire à l’équation $x^{3}+y^{3}+z^{3}=0,$ un des trois nombres $x,\ y,\ z,$ sera nécessairement divisible par $3.$

2^o. La cinquième puissance de tout nombre non divisible par $5$ est nécessairement de l’une des quatre formes $25m\pm (1,7),$ ce que l’on peut vérifier sur les cinquièmes puissances des nombres $1,\ 2,\ 3,\ 4,$ lesquelles divisées par $25$ ont les mêmes restes que donneraient les cinquièmes puissances dés nombres $5x+1,$ $5x+2,$ $5x+3,$ $5x+4.$ Or trois des quatre restes $\pm 1,$ $\pm 7,$ ne peuvent faire ni la somme $0$ ni la somme $25.$ Donc si l’équation $x^{5}+y^{5}+z^{5}=0$ est satisfaite, il faudra que l’un des nombres $x,\ y,\ z,$ soit divisible par $5.$

Le même moyen ne réussit pas pour le cas de $n=7\ ;$ car on trouve $19^{7}-18^{7}-1=7^{7}.18.19.$ Ainsi trois nombres non divisibles par $7$ tels que $x=19,\ y=-18,\ z=-1,$ ou plus