soient les racines de l’équation
si
on appelle en général
la somme des puissances de degré
des racines, savoir
on aura d’après les formules connues :
et en général
![{\displaystyle S_{m}=p^{m}-mqp^{m-2}+mrp^{m-3}+{\frac {m.m-3}{2}}q^{2}p^{m-4}-{\frac {m.m-4}{2}}.2qrp^{m-5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1452f4b974a5ad049f75431d17a933698936bb63)
![{\displaystyle +{\frac {m.m-5}{2}}r^{2}p^{m-6}-{\frac {m.m-4.m-5}{2.3}}q^{3}p^{m-6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/740d66f24ec5e14c29338b1d2c2b22ecb4448d9c)
![{\displaystyle +{\frac {m.m-5.m-6}{2.3}}.3q^{2}rp^{m-7}-{\frac {m.m-6.m-7}{2.3}}.3qr^{2}p^{m-8}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dbcbf878683573327b85ee58ce8a60cb36bb689)
![{\displaystyle +{\frac {m.m-7.m-8}{2.3}}r^{3}p^{m-9}\ +\ {\text{etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6923456084138938003749aeb140ffb307f37ea0)
cette suite devant être prolongée jusqu’aux puissances négatives
de
exclusivement.
15. Soit
on aura
ce qui donne
![{\displaystyle p^{3}=3(pq-r)=3(x+y)(y+z)(z+x)\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f254d93d5537ae5a02216a261891cf5d93f0124)
donc
est divisible par
et en outre un des facteurs
est divisible par
Soit ce facteur
alors
ou
sera divisible par
on peut de plus conclure,
suivant l’art. 13, que
devra être divisible par
ainsi
que
16. Soit
on aura
ce qui donne
ou
![{\displaystyle p^{5}=5(x+y)(y+z)(z+x)\left({\frac {p^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/520ec858581c0f0dbea9dbd3c723fefcee4b762d)