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13. Au moyen de la forme générale que nous venons de donner aux valeurs de $x,\ y,\ z,$ on peut démontrer que si une de ces indéterminées est divisible par $n,$ elle le sera nécessairement par $n^{2},$ et qu’il en sera de même de la quantité $p.$

En effet, nous avons appelé $x$ dans l’art. 8 l’indéterminée qui est divisible par $n\ ;$ or, d’après l’équation $2p={\frac {1}{n}}a^{n}+b^{n}+c^{n},$ où $2p$ et ${\frac {1}{n}}a^{n}$ sont divisibles par $n,$ il faut que $b^{n}+c^{n}$ soit divisible par $n.$ D’un autre côté, $b^{n}-b$ et $c^{n}-c$ étant toujours divisibles par $n,$ leur somme $b^{n}+c^{n}-(b+c),$ est divisible par $n\ ;$ donc $b+c$ est aussi divisible. Soit $b+c=n\mathrm {A} ,$ on aura

$b^{n}=(-c+n\mathrm {A} )^{n},$

et

$b^{n}+c^{n}=nc^{n-1}.n\mathrm {A} -{\frac {n.n-1}{1}}c^{n-1}.n^{2}\mathrm {A} ^{2}+\ {\text{etc.}}\ ;$

d’où l’on voit que $b^{n}+c^{n}$ est toujours divisible par $n^{2}\ ;$ mais la partie ${\frac {1}{n}}a^{n}$ est aussi divisible par $n^{2}$ dans le cas de $n=3,$ et par une puissance plus élevée de $n,$ lorsque $n$ est $>3.$ Donc $p$ sera toujours divisible par $n^{2}\ ;$ donc $p-{\frac {1}{n}}a^{n}$ ou $x$ sera divisible par $n^{2}.$

Il est donc démontré en général que si l’une des inconnues $x,\ y,\ z,$ est divisible par $n,$ elle le sera nécessairement par $n^{2},$ et qu’il en est de même de la somme $x+y+z=p.$

14. Nous nous proposons maintenant de démontrer que l’une des inconnues $x,\ y,\ z,$ est nécessairement divisible par $n.$

Ayant déjà fait $p=x+y+z,$ soit encore $q=xy+yz+zx,$ $r=xyz,$de manière que les indéterminées $x,\ y,\ z,$