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$y=p-b^{n}={\frac {1}{2}}\left(c^{n}+{\tfrac {1}{n}}a^{n}-b^{n}\right)$,

$z=p-c^{n}={\frac {1}{2}}\left({\tfrac {1}{n}}a^{n}+b^{n}-c^{n}\right)$.

9. Il existe aussi une relation entre $a$, $b$, $c$, laquelle se déduira de l’équation $2p={\tfrac {1}{n}}a^{n}+b^{n}+c^{n}$, combinée avec l’équation

$0=\left(p-{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}+\left(p-b^{n}\right)^{n}+\left(p-c^{n}\right)^{n}$.

On sait d’ailleurs que $p^{n}$ est divisible par $n(y+z)(z+x)(x+y)$, ou par $a^{n}b^{n}c^{n}$ ; on peut donc supposer $p=abc\mathrm {D}$, ce qui donnera

$2abc\mathrm {D} ={\tfrac {1}{n}}a^{n}+b^{n}+c^{n}$.

Et par le développement de l’équation précédente, on obtiendra dans chaque cas particulier une autre équation entre $a$, $b$, $c$, $\mathrm {D}$. Dans le cas de $n=3$, on a simplement $\mathrm {D} =1$.

10. Nous remarquerons encore que tout diviseur premier $\theta$ de l’un des facteurs $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, doit être de la forme $2kn+1$. Car les nombres $\theta$ sont diviseurs d’un nombre de la forme $p^{n}+q^{n}$ sans l’être de $p+q$ ; soit $p=qt+\theta u$, il faudra que $\theta$ soit diviseur de $t^{n}+1$ sans l’être de $t+1$ ; d’où il suit que $\theta$ est de la forme $2kn+1$. (Th. des N., art. 157.)

Cette propriété est commune aux trois facteurs impairs $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ; mais le premier $\alpha$, qui entre dans la composition de l’indéterminée $x$ déjà divisible par $n$, a de plus la propriété que tous ses facteurs premiers sont de la forme $2kn^{2}+1$.

11. En effet, soit $\theta =2kn+1$ un des facteurs premiers de $\alpha$ ; on déduira des équations précédentes, en omettant les