faisant
, le produit des deux facteurs
et
sera égal à la puissance
; et comme ces deux facteurs ne peuvent avoir que
pour commun diviseur, il faudra que
, et
soient l’un et l’autre des
puissances
ièmes dont le produit sera égal à
; c’est pourquoi nous ferons en général
,
désignant un nombre divisible par
ou par une puissance de
, et
, ce qui suppose
, et de plus
premier à
.
On a également
; mais dans
ce cas
n’étant pas divisible par
, il faudra que
et
soient l’un et l’autre des puissances
; on fera donc
, et
, ce qui suppose
.
Pareillement de l’équation
, on
déduira
,
, ce qui suppose
.
On aura donc à la fois les neuf équations :
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}y+z=&{\tfrac {1}{n}}a^{n},\qquad &\varphi (y,z)=&n\alpha ^{n},\qquad &x=&-a\alpha ,\\z+x=&b^{n},&\varphi (z,x)=&\beta ^{n},&y=&-b\beta ,\\x+y=&c^{n},&\varphi (x,y)=&\gamma ^{n},&z=&-c\gamma .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b96a7542cd937f8f79e2cf09164d7ebf5959302)
Appelons comme ci-dessus
la somme
, nous aurons
![{\displaystyle 2p={\tfrac {1}{n}}a^{n}+b^{n}+c^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d895e36523a80f4c89dc56d2d9188b12ad9bcff)
,
et les valeurs de
,
,
, seront exprimées en fonctions de
,
,
, comme il suit :
![{\displaystyle x=p-{\tfrac {1}{n}}a^{n}={\frac {1}{2}}\left(b^{n}+c^{n}-{\tfrac {1}{n}}a\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e0b1d06ad52b13fae640596283c2ab0e781ab7)
,