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$y^{n}+z^{n}$ soit divisible par $n^{n}$ mais $y^{n}+z^{n}$ est le produit de $y+z$ par le polynôme $y^{n-1}-zy^{n-2}+z^{2}y^{n-3}-{\textrm {etc.}}$ ; et si on fait dans ce polynôme $y+z=0$ ou $z=-y$, il se réduit à $ny^{n-1}$ ; donc, comme $y$ ne peut être divisible par $n$, puisque $x$ et $y$ sont premiers entre eux, le polynôme, sera divisible par $n$ simplement et non par une puissance plus élevée de $n$. Donc $y+z$ sera divisible par $n^{n-1}$.

En général, si $x$ était divisible par $n^{\alpha }$, $y+z$ le serait par $n^{n\alpha -1}$, et $\mathrm {P}$ simplement par $n$.

7. Il résulte de ce qui précède que, si on fait $y^{n}+z^{n}=(y+z)\varphi (y,z)$, les deux facteurs $y+z$ et $\varphi (y,z)$ auront $n$ pour commun diviseur ou n’en auront aucun, selon que $x$ sera ou ne sera pas divisible par $n$.

La fonction $\varphi (y,z)=y^{n-1}-zy^{n-2}+z^{2}y^{n-3}\ldots +z^{n-1}$ dont nous ferons beaucoup d’usage, est remarquable par plusieurs propriétés. Comme les nombres $y$ et $z$ doivent être en général ou tous deux impairs, ou l’un pair et l’autre impair, la fonction $\varphi (y,z)$, dont le nombre des termes est $n$, sera toujours un nombre impair. De plus, ce nombre sera positif ; car la fonction $\varphi$ est de degré pair, et elle a tous ses facteurs imaginaires. On sait d’ailleurs que $n$ étant, comme nous le supposons, un nombre premier, la fonction $4\varphi$ peut toujours se mettre sous la forme $4\varphi =\mathrm {Y} ^{2}\pm n\mathrm {Z} ^{2}$, savoir $\mathrm {Y} ^{2}+n\mathrm {Z} ^{2}$, si $n$ est de la forme $4k-1$, et $\mathrm {Y} ^{2}-n\mathrm {Z} ^{2}$, si $n$ est de la forme $4k+1$. (Voyez Th. des N. n^o 476.)

Maintenant, si on peut satisfaire à l’équation $x^{n}+y^{n}+z^{n}=0$, voici les conséquences qui résultent de cette supposition.

8. Considérons d’abord le cas où l’un des trois nombres $x$, $y$, $z$, serait divisible par $n$, et soit $x$ ce nombre ; alors en