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déterminés, n’ont aucun commun diviseur ; car si un même nombre premier $\alpha$ divisait deux des nombres $x,$ $y,$ $z,$ il diviserait nécessairement le troisième, et l’équation pourrait être divisée par $\alpha ^{n}.$ Il faudra, en vertu de cette supposition, que deux des trois nombres $x,$ $y,$ $z,$ soient impairs et le troisième pair.

3. Soit $x+y+z=p,$ je dis que $p$ sera toujours divisible par $n.$ En effet, on sait que $n$ étant un nombre premier, la quantité $x^{n}-x$ est toujours divisible par $n$ ; il en est de même de $y^{n}-y$ et de $z^{n}-z$ ; donc la somme de ces quantités, savoir $x^{n}+y^{n}+z^{n}-p$ ou simplement $-p$ est divisible par $n$.

4. Je dis maintenant que $p^{n}$ sera divisible par le produit $(x+y)(y+z)(z+x)$ de sorte qu’on pourra faire $p^{n}=(x+y)(y+z)(z+x)\mathrm {P} ,$ $\mathrm {P}$ étant un polynôme en $x,$ $y,$ $z,$ homogène et du degré $n-3.$ Car $n$ étant un nombre impair quelconque, $p^{n}-z^{n}$ est toujours divisible par $p-z$ ou $x+y\,;$ de même $x^{n}+y^{n}$ est divisible par $x+y\,;$ donc $p^{n}-z^{n}-x^{n}-y^{n}$ ou simplement $p^{n}$ est divisible par $x+y.$ Par une semblable raison $p^{n}$ est divisible par $y+z$ et par $z+x.$ Donc $n$ étant un nombre impair quelconque, $p^{n}$ sera divisible par le produit $(x+y)(y+z)(z+x).$

5. Si l’on suppose qu’aucun des nombres $x,$ $y,$$z$ n’est divisible par $n,$ il faudra aussi qu’aucune des sommes $x+y$, $y+z$, $z+x$, ne soit divisible par $n\,;$ car si, par exemple, $x+y$ était divisible par $n,$ la différence $p-(x+y)$ ou $z$ serait divisible, ce qui est contre la supposition.

6. Si l’un des nombres $x$, $y$, $z$ est divisible par $n,$ soit $x$ ce nombre ; alors $y+z$ sera divisible non-seulement par $n,$ mais par $n^{n-1}.$ En effet, puisqu’on a $x^{n}+y^{n}+z^{n}=0,$ il faut que