n’existe aucune puissance qui puisse être partagée en deux autres puissances du même degré. Le cas des troisièmes puissances a été démontré par Euler, et celui des quatrièmes l’a été également par une méthode que Fermat lui-même avait suffisamment indiquée, mais on n’est pas allé au-delà ; et quoique l’Académie des Sciences, dans la vue d’honorer la mémoire de Fermat, eût proposé pour sujet d’un de ses prix de mathématiques, la démonstration du théorème dont nous parlons, le concours, prorogé même au-delà du terme ordinaire, n’a produit aucun résultat.
Il semble donc qu’une difficulté particulière est attachée à cette question et que nous manquons encore du principe spécial qui serait nécessaire pour la résoudre. En attendant qu’un hasard heureux fasse retrouver ce principe, tel que Fermat l’avait conçu, les Amateurs de la théorie des Nombres verront peut-être avec plaisir que le cas des cinquièmes puissances peut être démontré rigoureusement.
Nous allons exposer cette démonstration en la faisant précéder de quelques considérations générales sur les conditions auxquelles devraient satisfaire les trois indéterminées, si la
bilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. » Fermat Notes sur Diophante, pag. 61.
Les dernières paroles de cette note autorisent à croire que la démonstration dont parle Fermat, n’aurait occupé qu’un petit nombre de pages, s’il les avait eues à sa disposition. Cette démonstration était donc beaucoup plus simple que celle dont nous nous servons dans cet écrit pour prouver seulement que la solution, s’il y en avait une dans les cas non résolus, ne pourrait être donnée que par des nombres d’une grandeur prodigieuse.
