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Ainsi, nous avons quatre modes distincts de génération, définis par quatre surfaces homofocales, que nous désignerons par la lettre $(\mathrm {S} _{k})$ et qui correspondent aux quatre racines différentes $\lambda _{k}$ de l’équation (14), et par quatre plans $(\Pi _{k}),$ définis par l’équation (18), et associés respectivement aux quadriques $(\mathrm {S} _{k}).$ Chaque plan $(\Pi _{k}),$ coupe la quadrique correspondante suivant une conique $(\mathrm {C} _{k}),$ qui sera une des courbes doubles, situées à distance finie, de la paracyclide.

Remarquons que chacun des plans $(\Pi _{k})$ est le plan polaire par rapport à la quadrique $(\mathrm {S} _{k})$ d’un point, toujours le même, de coordonnées ${\frac {-\alpha '}{\delta }},\,{\frac {-\beta '}{\delta }},$ ${\frac {-\gamma '}{\delta }}.$ Ce point, que nous verrons reparaître dans la théorie, sera désigné par la lettre $\mathrm {S} .$ Il est rejeté à l’infini quand $\delta$ est nul.

Si l’on considère isolément les quatre plans $(\Pi _{k}),$ il est aisé d’établir qu’ils forment un tétraèdre conjugué par rapport à la sphère dont l’équation est

(19)

$x^{2}+y^{2}+x^{2}=\delta ^{2}.$

En effet, pour que deux plans définis par les équations

${\begin{aligned}\mathrm {A} \ x+\mathrm {B} \ y+\mathrm {C} \ +\delta =&0,\\\mathrm {A} 'x+\mathrm {B} 'y+\mathrm {C} '+\delta =&0,\\\end{aligned}}$

soient conjugués relativement à la sphère, il suffit que l’on ait

${\rm {AA'+BB'+CC'=1.}}$

Appliquée à deux des plans $(\Pi _{k}),$ cette condition devient

${\frac {\alpha '^{2}}{(\alpha +\lambda _{k})(\alpha +\lambda _{k'})}}+{\frac {\beta '^{2}}{(\beta +\lambda _{k})(\beta +\lambda _{k'})}}+{\frac {\gamma '^{2}}{(\gamma +\lambda _{k})(\gamma +\lambda _{k'})}}=1\,;$

et il est aisé de voir qu’elle est toujours vérifiée par deux racines différentes de l’équation (14); car on a l’identité

(20)$\quad {\frac {\mathrm {R} (\lambda _{k})-\mathrm {R} (\lambda _{k'})}{\lambda _{k}-\lambda _{k'}}}=$

$1-{\frac {\alpha '^{2}}{(\alpha +\lambda _{k})(\alpha +\lambda _{k'})}}-{\frac {\beta '^{2}}{(\beta +\lambda _{k})(\beta +\lambda _{k'})}}-{\frac {\gamma '^{2}}{(\gamma +\lambda _{k})(\gamma +\lambda _{k'})}}.$

Grâce aux modes de génération précédents, nous connaissons maintenant les cinq coniques doubles de la paracyclide. Pour avoir le cône enveloppe des plans tangents doubles, il suffira de rendre homogène l’équation de la surface, ce qui donnera

(21)

$\left[p^{2}+\left(\delta ^{2}-\alpha \right)u^{2}+\left(\delta ^{2}-\beta \right)v^{2}+\left(\delta ^{2}-\gamma \right)w^{2}\right]^{2}$

$=4\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)(\alpha 'u+\beta 'v+\gamma 'w-\delta p)^{2}.$

On voit ainsi que le cône cherché sera défini par les deux équations

(22)

$\left\{{\begin{aligned}&\qquad \qquad \alpha 'u+\beta 'v+\gamma 'w-\delta p=0\\&p^{2}+\left(\delta ^{2}-\alpha \right)u^{2}+\left(\delta ^{2}-\beta \right)v^{2}+\left(\delta ^{2}-\gamma \right)w^{2}=0.\end{aligned}}\right.$