propriétés des fonctions algébriques, a emprunté à la Physique mathématique un postulat auquel on peut donner la forme suivante : Étant donnée une plaque plane homogène, il est toujours possible de trouver pour elle un équilibre de température dans lequel chaque point du contour de la plaque prend une température donnée a priori.
Pour établir cette proposition, qu’un physicien pourrait être tenté de vérifier par l’expérience, Riemann s’était contenté d’un raisonnement que Gauss avait employé autrefois, que Dirichlet avait admis ; c’est pour cela que Riemann donne à son postulat le nom de principe de Dirichlet. Mais l’exactitude de sa démonstration, qui devait être complétée plus tard par M. Hilbert, fut contestée par plusieurs géomètres, au nombre desquels il faut compter Weierstrass. Les résultats obtenus par Riemann étaient d’une telle importance que l’on dut s’empresser de chercher une démonstration irréprochable du principe sur lequel il s’appuyait. Les recherches des géomètres n’ont pas été infructueuses, et l’on peut, aujourd’hui, faire le cours le plus intéressant en exposant seulement les diverses démonstrations qui ont été données du principe de Dirichlet. Dans le développement de cette belle question, les travaux de Poincaré tiendront une place des plus importantes. Non seulement, en inventant sa méthode du balayage, il a donné une démonstration tout à fait originale du principe de Dirichlet ; mais encore il a fait une application des plus intéressantes de ce principe, convenablement élargi, en démontrant, comme nous l’avons rappelé plus haut, que si l’on a une fonction analytique quelconque, la fonction et la variable dont elle dépend peuvent être exprimées par des fonctions uniformes d’une variable auxiliaire.
Je viens de parler du principe de Dirichlet ; dans ses études d’intérêt fondamental, notre confrère Émile Picard a su l’étendre à des classes entières d’équations, qui apparaissent dans quelques-uns des problèmes les plus essentiels de l’Analyse et de la Physique mathématique. Ici encore, comme dans bien d’autres circonstances, ses travaux se sont
