la Section de Géométrie, alors qu’il n’avait que 27 ans ; ses recherches d’Algèbre pure sur les fonctions homogènes et la règle des signes de Descartes ; la démonstration, faite en collaboration avec M. Émile Picard, du célèbre théorème de Riemann sur les fonctions uniformes de n variables à 2n périodes ; ses études sur les déterminants d’ordre infini, où il s’est rencontré avec M. Appell, sur les fonctions Θ à plusieurs variables, sur les fonctions hyper-fuchsiennes introduites par M. Émile Picard, sur la réduction des intégrales abéliennes, sur les intégrales irrégulières des équations linéaires, etc. ; je réserverai toutefois une mention spéciale à un Mémoire qu’Hermite préférait à tous les autres, celui où Poincaré démontre que toute fonction méromorphe de deux variables s’exprime par le quotient de deux fonctions entières. Même dans ce court résumé, il faut citer le travail où il démontre ce mémorable résultat :
Si l’on a une fonction analytique quelconque d’une variable, on peut toujours exprimer la fonction et la variable indépendante par des fonctions uniformes d’une troisième variable.
et aussi le célèbre Mémoire où il étend aux intégrales multiples la
théorie des intégrales d’une fonction d’une variable imaginaire
telle que Cauchy l’avait créée. La généralisation de cette théorie,
qui est le fondement de l’Analyse moderne, présentait de graves
difficultés devant lesquelles tous les efforts des géomètres avaient
jusque-là échoué. Poincaré fut le premier à les surmonter.
Toutes ces découvertes justifiaient l’appréciation qu’en fit M. Camille Jordan, lors de la dernière candidature du jeune géomètre.
Telle est, disait notre Confrère, dans ses traits essentiels l’œuvre accomplie par M. Poincaré. Elle est au-dessus des éloges ordinaires et nous rappelle invinciblement ce que Jacobi écrivait d’Abel, qu’il avait résolu des questions qu’avant lui personne n’aurait osé imaginer. Il faut en effet le reconnaître : nous assistons en ce moment à une révolution dans les Mathématiques de tous points comparable à celle qui s’est manifestée, il y a un demi-siècle, par l’avènement des fonctions elliptiques.
