convergentes, en général, que si le module de cette différence ne dépasse pas une certaine limite. Poincaré ne considère, il est vrai, que les solutions réelles d’un système quelconque d’équations différentielles algébriques à coefficients réels ; mais il démontre que, dans ce cas, les solutions réelles peuvent se définir de la manière la plus complète par des séries toujours convergentes, ordonnées suivant les puissances d’une variable auxiliaire, que l’on peut même choisir d’une infinité de manières. Cette proposition, qu’il a appliquée lui-même au problème des trois corps, me paraît dominer toutes les recherches que l’on a entreprises depuis sur ce célèbre problème[1].
Nous sommes obligés de passer sous silence bien d’autres recherches publiées pendant cette période de jeunesse, pour aborder la partie la plus brillante des travaux d’Henri Poincaré, celle qui concerne les fonctions fuchsiennes et kleinéennes.
L’Académie avait mis au concours, pour le grand prix des Sciences mathématiques à décerner en 1880, la question suivante :
Perfectionner en un point important la théorie des équations différentielles linéaires.
Le prix échut à Georges Halphen qui allait devenir, pour bien peu de temps, hélas ! notre confrère. Mais Poincaré avait présenté au
- ↑ Je ne sais si l’on a remarqué que, par une généralisation facile, on peut obtenir le
théorème suivant :
Étant donné un système quelconque d’équations différentielles algébriques, à coefficients réels ou imaginaires, il est toujours possible d’obtenir pour toutes les inconnues des séries toujours convergentes ordonnées suivant les puissances d’une variable auxiliaire réelle si l’on suppose que l’une des variables est représentée par un point qui décrit une courbe algébrique, plus généralement si l’on établit une relation algébrique quelconque entre les parties réelles et les parties imaginaires de toutes les variables.
