Il a reconnu tout d’abord que les courbes représentées par l’équation différentielle sont, soit des courbes fermées, soit des spirales. Elles peuvent contenir trois sortes de points singuliers :
1o Les cols, par lesquels passent deux courbes définies par l’équation, et deux seulement ;
2o Les nœuds, où viennent se croiser une infinité de courbes définies par l’équation ;
3o Les foyers, autour desquels tournent ces courbes, en s’en rapprochant sans cesse comme le ferait une spirale logarithmique ;
4o Exceptionnellement enfin, et seulement dans des cas très particuliers, se présentent en outre des centres, qu’entourent les courbes en s’enveloppant mutuellement.
Nous devons renoncer à dire ici comment l’auteur étudie la distribution de ces différents points ; comment il démontre, entre le nombre des cols, des foyers et des centres, une relation analogue à celle qui a été établie par Euler entre le nombre des faces, des sommets et des arêtes d’un polyèdre, comment enfin il étend tous ces résultats à des systèmes plus généraux d’équations différentielles ; nous devons au contraire insister sur une proposition énoncée en 1882 dans une Note des Comptes rendus et qui nous paraît un des plus beaux résultats obtenus en Analyse depuis Cauchy.
De toutes les découvertes que les Mathématiciens ont faites au cours du XIXe siècle, la plus féconde sans doute est celle que l’on doit à Cauchy relativement à la série de Taylor et aux conditions de sa convergence. On peut dire qu’elle a renouvelé toutes les branches de l’Analyse. En l’appliquant à un système quelconque d’équations différentielles, le grand géomètre avait établi que les solutions d’un tel système peuvent se développer en séries convergentes, ordonnées, par exemple, suivant les puissances de la différence entre la variable indépendante et sa valeur initiale ; mais ces séries de Cauchy n’étaient
