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On trouverait de même

${\begin{aligned}ba''-ab''&=\pm c'\\a'b''-b'a''&=\pm c.\end{aligned}}$

Mais, en suivant cette marche, on ne verrait pas comment les signes des deux dernières équations dépendent de celui de la première c’est ce qu’on voit au contraire en partant par exempte de

$c''=ab'-ba',$

et trouvant $c$ et $c'$ au moyen des deux relations suivantes

${\begin{aligned}ac+a'c'&=-a''c'',\\bc+b'c'&=-b''c'',\end{aligned}}$

qui donnent, d’après les formules des équations du premier degré,

${\begin{alignedat}{3}c\ &={\frac {-b'a''c''+a'b''c''}{ab'-ba'}}&&={\frac {c''}{ab'-ba'}}(a'b''-b'a'')&&=a'b''-b'a'',\\c'&={\frac {-ab''c''+ba''c''}{ab'-ba'}}&&={\frac {c''}{ab'-ba'}}(ba''-ab'')&&=ba''-ab''.\end{alignedat}}$

Ainsi le signe de la première équation est arbitraire ; mais, une fois qu’il a été choisi à volonté, il détermine ceux des autres équations et en outre ceux des équations qui donnent des valeurs semblables pour $b,\,b',\,b'',\,a,\,a',\,a''.$ En effet, si l’on substitue, par exemple, les valeurs que nous venons de trouver pour $c'$ et $c''$ à la place de ces quantités dans $c'a''-a'c'',$ on trouve

${\begin{aligned}c'a''-a'c''&=ba''-aa''b''-aa'b'+ba^{'2}\\&=b-a^{2}b-aa''b''-aa'b'=b,\end{aligned}}$

en vertu des deux relations

$a^{2}+a^{'2}+a^{''2}=1,\qquad ab+a'b'+a''b''=0\,;$

tandis qu’en substituant les mêmes valeurs dans $a'c''-c'a'',$ on aurait trouvé $-b.$